Nilai Lim X-> 2 (t^2 -5t+6)sin (t-2) /(t^2 -t-2)^2

-1/9

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit dari \(\lim_{t \to 2} \frac{(t^2 -5t+6)\sin (t-2)}{(t^2 -t-2)^2}\), kita dapat melakukan faktorisasi pada pembilang dan penyebutnya.

Pembilang: \(t^2 - 5t + 6 = (t-2)(t-3)\)

Penyebut: \(t^2 - t - 2 = (t-2)(t+1)\)

Maka, ekspresi limit menjadi:
\(\lim_{t \to 2} \frac{(t-2)(t-3)\sin (t-2)}{((t-2)(t+1))^2}\)
\(\lim_{t \to 2} \frac{(t-2)(t-3)\sin (t-2)}{(t-2)^2(t+1)^2}\)

Kita bisa menyederhanakan satu faktor \((t-2)\) di pembilang dan penyebut:
\(\lim_{t \to 2} \frac{(t-3)\sin (t-2)}{(t-2)(t+1)^2}\)

Sekarang, kita pisahkan limit ini menjadi beberapa bagian:
\(\lim_{t \to 2} \frac{t-3}{ (t+1)^2} \times \lim_{t \to 2} \frac{\sin (t-2)}{t-2}\)

Untuk limit pertama:
\(\frac{2-3}{(2+1)^2} = \frac{-1}{3^2} = \frac{-1}{9}\)

Untuk limit kedua, kita tahu bahwa \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\). Dalam kasus ini, jika \(t \to 2\), maka \(t-2 \to 0\). Jadi, \(\lim_{t \to 2} \frac{\sin (t-2)}{t-2} = 1\).

Dengan mengalikan kedua hasil limit tersebut:
\(\frac{-1}{9} \times 1 = \frac{-1}{9}\)