Nilai lim x-> tak hingga (4x-3-akar(16x^2-12x+7)) adalah

Nilai limit adalah -3/2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita perlu menyederhanakan ekspresi dengan mengalikan dengan konjugatnya, karena bentuknya adalah tak tentu (tak hingga - tak hingga).

Limit yang diberikan adalah: lim x-> tak hingga (4x - 3 - sqrt(16x^2 - 12x + 7))

Kita dapat menulis ulang ekspresi tersebut:
lim x-> tak hingga ((4x - 3) - sqrt(16x^2 - 12x + 7))

Kalikan dengan konjugatnya, yaitu ((4x - 3) + sqrt(16x^2 - 12x + 7)) / ((4x - 3) + sqrt(16x^2 - 12x + 7)).

= lim x-> tak hingga [((4x - 3) - sqrt(16x^2 - 12x + 7)) * ((4x - 3) + sqrt(16x^2 - 12x + 7))] / ((4x - 3) + sqrt(16x^2 - 12x + 7))

Menggunakan rumus (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 pada pembilang:
= lim x-> tak hingga [(4x - 3)^2 - (16x^2 - 12x + 7)] / ((4x - 3) + sqrt(16x^2 - 12x + 7))

Jabarkan (4x - 3)^2:
= lim x-> tak hingga [(16x^2 - 24x + 9) - (16x^2 - 12x + 7)] / ((4x - 3) + sqrt(16x^2 - 12x + 7))

Sederhanakan pembilang:
= lim x-> tak hingga [16x^2 - 24x + 9 - 16x^2 + 12x - 7] / ((4x - 3) + sqrt(16x^2 - 12x + 7))
= lim x-> tak hingga [-12x + 2] / ((4x - 3) + sqrt(16x^2 - 12x + 7))

Sekarang, bagi setiap suku di pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x, yaitu x.
Ingat bahwa sqrt(x^2) = x untuk x positif (karena x -> tak hingga).

= lim x-> tak hingga [(-12x/x) + (2/x)] / ((4x/x) - (3/x) + sqrt((16x^2/x^2) - (12x/x^2) + (7/x^2)))
= lim x-> tak hingga [-12 + 2/x] / (4 - 3/x + sqrt(16 - 12/x + 7/x^2))

Ketika x mendekati tak hingga, suku-suku dengan 1/x akan mendekati 0:
= [-12 + 0] / (4 - 0 + sqrt(16 - 0 + 0))
= -12 / (4 + sqrt(16))
= -12 / (4 + 4)
= -12 / 8
= -3 / 2

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah -3/2 atau -1.5.