Nilai limit x -> 3 (x-7)sin(2x-6)/(x^2+2x-15) adalah ....

-1

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita perlu menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar karena substitusi langsung akan menghasilkan bentuk tak tentu 0/0. Limitnya adalah: 

lim (x->3) [ (x-7)sin(2x-6) / (x^2+2x-15) ]

Faktorkan penyebutnya: x^2+2x-15 = (x+5)(x-3)

lim (x->3) [ (x-7)sin(2x-6) / ((x+5)(x-3)) ]

Kita tahu bahwa lim (u->0) sin(u)/u = 1. Mari kita manipulasi agar sesuai dengan bentuk ini. Misalkan u = 2x-6, maka ketika x->3, u->0. Kita perlu (2x-6) di penyebut.

lim (x->3) [ (x-7) * {sin(2x-6) / (2x-6)} * {(2x-6) / ((x+5)(x-3))} ]

lim (x->3) [ (x-7) * {sin(2x-6) / (2x-6)} * {2(x-3) / ((x+5)(x-3))} ]

Sekarang kita bisa membatalkan (x-3):

lim (x->3) [ (x-7) * {sin(2x-6) / (2x-6)} * {2 / (x+5)} ]

Sekarang kita bisa substitusi x=3:

(3-7) * 1 * {2 / (3+5)}

(-4) * 1 * (2/8)

-4 * (1/4)

-1

Jadi, nilai limitnya adalah -1.