Nilai limit x mendekati 0 (x^2+2x)/tan x=...

2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita substitusikan nilai x=0 ke dalam fungsi. Substitusi langsung menghasilkan 0/0, yang merupakan bentuk tak tentu.
Kita dapat menggunakan aturan L'Hopital atau memanipulasi fungsi.

Metode 1: Aturan L'Hopital
Jika lim x->c f(x)/g(x) menghasilkan 0/0 atau ∞/∞, maka limitnya sama dengan lim x->c f'(x)/g'(x).
Turunan dari x^2 + 2x adalah 2x + 2.
Turunan dari tan x adalah sec^2 x.

lim x->0 (x^2+2x)/tan x = lim x->0 (2x+2)/sec^2 x
Substitusikan x=0:
= (2*0 + 2) / sec^2 0
= 2 / (1/cos 0)^2
= 2 / (1/1)^2
= 2 / 1
= 2

Metode 2: Manipulasi Fungsi
Kita tahu bahwa lim x->0 (sin x)/x = 1 dan lim x->0 tan x / x = 1.

lim x->0 (x^2+2x)/tan x
= lim x->0 x(x+2)/tan x
= lim x->0 (x/tan x) * (x+2)
= lim x->0 (x/tan x) * lim x->0 (x+2)
= 1 * (0+2)
= 2

Jadi, nilai limit x mendekati 0 (x^2+2x)/tan x adalah 2.