Nilai x yang memenuhi persamaan: (xlog2)/(2logx-4)=-1/3

x = 2 * (akar pangkat 4 dari 2)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan (xlog2)/(2logx-4)=-1/3, kita perlu menggunakan sifat-sifat logaritma dan aljabar.
Persamaan: (xlog2)/(2logx-4) = -1/3
Kalikan silang:
3 * (xlog2) = -1 * (2logx - 4)
3x log 2 = -2 log x + 4

Kita bisa gunakan sifat logaritma: bloga = cLeftrightarrow b^c = a. Namun, di sini kita memiliki x sebagai basis dan juga di dalam logaritma. Mari kita ubah basis logaritma agar sama. Gunakan sifat logaritma: n loga = log(a^n) dan clogb = log(b^c).
Asumsikan logaritma yang digunakan adalah logaritma basis 10 (log).
3 log(2^x) = -2 log x + 4
log((2^x)^3) = log(x^-2) + log(10^4)
log(2^(3x)) = log(x^-2 * 10000)

Karena basis logaritmanya sama, maka numerusnya juga sama:
2^(3x) = x^-2 * 10000
2^(3x) = 10000 / x^2
x^2 * 2^(3x) = 10000

Mencari nilai x yang memenuhi persamaan ini secara analitik cukup sulit. Biasanya, soal seperti ini diselesaikan dengan mencoba beberapa nilai atau menggunakan metode numerik. Mari kita coba beberapa nilai.
Jika x = 2:
2^2 * 2^(3*2) = 4 * 2^6 = 4 * 64 = 256 (terlalu kecil)
Jika x = 3:
3^2 * 2^(3*3) = 9 * 2^9 = 9 * 512 = 4608 (mendekati)
Jika x = 4:
4^2 * 2^(3*4) = 16 * 2^12 = 16 * 4096 = 65536 (terlalu besar)

Namun, perlu diperhatikan bahwa jika x adalah basis logaritma, maka x harus positif dan x ≠ 1. Juga, argumen logaritma harus positif.

Mari kita kembali ke persamaan awal dan coba manipulasi lain:
(x log 2) / (2 log x - 4) = -1/3
Kita tahu loga b = 1 / logb a. Jadi, 2 log x = 2 / logx 2.
(x log 2) / (2 / logx 2 - 4) = -1/3
Misalkan y = logx 2. Maka log 2 = log x * y = y / log2 x. Jadi log2 x = 1/y.
(x * (y / log2 x)) / (2 / (1/y) - 4) = -1/3
(x * y^2) / (2y - 4) = -1/3
3xy^2 = -1(2y - 4)
3xy^2 = -2y + 4

Ini juga tidak menyederhanakan masalah secara langsung. Kita perlu memastikan bentuk logaritma. Jika yang dimaksud adalah \( rac{\log_x 2}{2 \log_x 2 - 4} = -rac{1}{3} \), maka:
Misalkan \( y = \log_x 2 \).
\( rac{y}{2y - 4} = -rac{1}{3} \)
\( 3y = -(2y - 4) \)
\( 3y = -2y + 4 \)
\( 5y = 4 \)
\( y = rac{4}{5} \)

Karena \( y = \log_x 2 \), maka \( \log_x 2 = rac{4}{5} \).
Menurut definisi logaritma, ini berarti \( x^{4/5} = 2 \).
Untuk mencari x, kita pangkatkan kedua sisi dengan \( rac{5}{4} \):
\( (x^{4/5})^{5/4} = 2^{5/4} \)
\( x = 2^{5/4} \)
\( x = 	ext{akar pangkat 4 dari } 2^5 \)
\( x = 	ext{akar pangkat 4 dari } 32 \)
\( x = 	ext{akar pangkat 4 dari } 16 	imes 2 \)
\( x = 2 	ext{akar pangkat 4 dari } 2 \)

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah \( 2 	imes 	ext{akar pangkat 4 dari } 2 \).