Pada gambar di samping, dengan menggunakan teorema

Tidak dapat dibuktikan dengan informasi yang diberikan.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa sudut CAD adalah siku-siku menggunakan teorema Pythagoras dan kebalikannya, kita perlu memeriksa apakah kuadrat sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat dua sisi lainnya pada segitiga CAD. 

Dari gambar, kita memiliki panjang sisi-sisi berikut:
AC = 13 cm
CD = 12 cm
AD = akar((AB - DB)^2 + (BC)^2) atau akar((AB)^2 + (BD)^2) jika ABD siku-siku.

Namun, informasi yang diberikan dalam soal (D C A B 13 cm 12 cm 2 cm 4 cm) tidak secara jelas menunjukkan bagaimana panjang AB, DB, dan BC berhubungan dengan segitiga CAD. 

Diasumsikan bahwa:
- AC = 13 cm
- CD = 12 cm
- AB = 4 cm (sepanjang garis)
- DB = 2 cm (sepanjang garis)
- Titik D, B berada pada satu garis, dan titik A, B, C membentuk segitiga.

Jika kita mengasumsikan bahwa ABCD adalah sebuah bangun datar dengan diagonal AC dan BD, dan kita ingin membuktikan segitiga CAD siku-siku di A, maka kita perlu panjang sisi AD.

Jika kita menginterpretasikan angka 4 cm dan 2 cm sebagai bagian dari panjang sisi yang membentuk segitiga CAD, misalnya:

Kemungkinan 1: Titik B terletak di antara A dan garis CD, atau sebaliknya. Namun, tanpa diagram yang jelas, ini sulit dipastikan.

Kemungkinan 2: Kita bisa mengasumsikan bahwa ada segitiga siku-siku lain yang dapat membantu kita menemukan panjang AD. Misalkan ada titik E sehingga ADE siku-siku. 

Mari kita coba interpretasi lain berdasarkan urutan huruf dan angka yang diberikan:
Misalkan D, B, A adalah segaris dengan urutan D-B-A, dan C adalah titik lain.
CD = 12 cm
DB = 2 cm
BA = 4 cm
Total panjang DA = DB + BA = 2 + 4 = 6 cm.
AC = 13 cm.

Sekarang kita punya segitiga CAD dengan sisi:
CD = 12 cm
DA = 6 cm
AC = 13 cm

Periksa apakah berlaku teorema Pythagoras (sisi terpanjang dikuadratkan = jumlah kuadrat dua sisi lainnya).
Sisi terpanjang adalah AC = 13 cm.
AC^2 = 13^2 = 169.

CD^2 + DA^2 = 12^2 + 6^2 = 144 + 36 = 180.

Karena 169 ≠ 180, maka sudut CAD tidak siku-siku berdasarkan interpretasi ini.

Mari coba interpretasi lain:
Misalkan A, B, D segaris dengan urutan A-B-D.
AC = 13 cm
CD = 12 cm
AB = 4 cm
BD = 2 cm
Total panjang AD = AB + BD = 4 + 2 = 6 cm.
Ini kembali ke kasus yang sama.

Kemungkinan lain: Mungkin 13 cm dan 12 cm adalah sisi-sisi yang membentuk sudut di C, dan 4 cm serta 2 cm adalah bagian dari panjang garis lain.

Jika kita menganggap bahwa gambar tersebut menunjukkan segitiga ABC siku-siku di B, dengan AB = 4 cm dan BC = x cm, dan ada titik D pada AB sehingga DB = 2 cm, dan CD = 12 cm, AC = 13 cm. Maka:
Dalam segitiga ABC siku-siku di B:
AC^2 = AB^2 + BC^2
13^2 = 4^2 + BC^2
169 = 16 + BC^2
BC^2 = 169 - 16 = 153
BC = sqrt(153)

Sekarang kita perlu membuktikan sudut CAD siku-siku. Ini memerlukan informasi tentang titik D.
Jika D adalah titik pada AB sedemikian rupa sehingga DB=2, maka AD = AB - DB = 4 - 2 = 2 cm.
Dalam segitiga ACD, kita punya:
AC = 13 cm
CD = 12 cm
AD = 2 cm

Periksa teorema Pythagoras pada segitiga ACD:
AC^2 = 13^2 = 169
CD^2 + AD^2 = 12^2 + 2^2 = 144 + 4 = 148
Karena 169 ≠ 148, sudut CAD tidak siku-siku.

Mari kita asumsikan bahwa angka-angka tersebut merujuk pada panjang sisi-sisi yang relevan untuk teorema Pythagoras pada segitiga CAD:
Misalkan:
Sisi CD = 12 cm
Sisi AD = ?
Sisi AC = 13 cm

Dan angka 4 cm dan 2 cm digunakan untuk menghitung AD. Jika kita mengasumsikan D, B, A adalah segaris dan AB=4, DB=2, maka AD = 6. Kita sudah cek ini dan tidak siku-siku.

Jika kita mengasumsikan bahwa ada segitiga siku-siku lain yang terkait:
Misalkan ada titik E sehingga CDE siku-siku di D, dengan CD = 12 dan DE = x. Maka CE^2 = 12^2 + x^2.

Interpretasi yang paling mungkin adalah bahwa panjang sisi-sisi segitiga CAD adalah 13 cm, 12 cm, dan panjang yang perlu dihitung dari angka 4 cm dan 2 cm.

Misalkan kita punya sebuah trapesium sama kaki ABCD dengan AB sejajar CD. Namun, ini tidak disebutkan.

Kita perlu mengasumsikan bagaimana angka 4 cm dan 2 cm digunakan untuk menentukan panjang sisi AD atau CD atau AC agar teorema Pythagoras dapat diterapkan.

Jika kita asumsikan bahwa angka-angka tersebut adalah:
AC = 13 cm
CD = 12 cm
Dan AD adalah sisi yang perlu dihitung.

Jika ada titik B pada garis AD sedemikian rupa sehingga AB=4 dan BD=2, maka AD = 6. (Sudah dicek, tidak siku-siku).
Jika ada titik B pada garis CD sedemikian rupa sehingga CB=4 dan BD=2, maka CD = 6 atau 10 atau lain-lain tergantung posisi.

Mari kita lihat kembali soalnya: "Pada gambar di samping, dengan menggunakan teorema Pythagoras dan kebalikannya, buktikan bahwa sudut CAD adalah siku-siku. D C A B 13 cm 12 cm 2 cm 4 cm".

Urutan huruf D C A B mungkin menunjukkan sebuah urutan titik.
Jika kita menganggap ini adalah koordinat:
Misal D = (0,0)
C = (x_c, y_c) sehingga jarak CD = 12.
Misal C = (12, 0).

Ini menjadi sangat spekulatif tanpa gambar.

Namun, jika kita berasumsi bahwa soal ini dirancang agar teorema Pythagoras berlaku, mari kita coba berbagai kombinasi panjang sisi yang mungkin dibentuk oleh angka-angka tersebut untuk segitiga CAD, di mana salah satu sudutnya adalah CAD.

Sisi-sisi yang diberikan adalah 13 cm dan 12 cm. Sisi ketiga perlu dibentuk dari 2 cm dan 4 cm.

Kemungkinan panjang sisi ketiga:
1. 4 + 2 = 6 cm
2. 4 - 2 = 2 cm
3. 4 * 2 = 8 cm
4. 4 / 2 = 2 cm

Kita sudah cek pasangan (13, 12, 6) -> 13^2 vs 12^2 + 6^2 -> 169 vs 144 + 36 = 180 (tidak siku-siku)

Coba pasangan (13, 12, 2):
13^2 vs 12^2 + 2^2 -> 169 vs 144 + 4 = 148 (tidak siku-siku)
12^2 vs 13^2 + 2^2 -> 144 vs 169 + 4 = 173 (tidak siku-siku)
2^2 vs 13^2 + 12^2 -> 4 vs 169 + 144 = 313 (tidak siku-siku)

Coba pasangan (13, 12, 8):
13^2 vs 12^2 + 8^2 -> 169 vs 144 + 64 = 208 (tidak siku-siku)
12^2 vs 13^2 + 8^2 -> 144 vs 169 + 64 = 233 (tidak siku-siku)
8^2 vs 13^2 + 12^2 -> 64 vs 169 + 144 = 313 (tidak siku-siku)

Ada kemungkinan bahwa 4 cm dan 2 cm adalah bagian dari panjang sisi, bukan panjang sisi itu sendiri.

Jika kita berasumsi bahwa ada titik E sehingga ADE siku-siku di D, dan CD tegak lurus AD, maka kita bisa punya:
Segitiga ACD siku-siku di D.
AC^2 = AD^2 + CD^2
13^2 = AD^2 + 12^2
169 = AD^2 + 144
AD^2 = 169 - 144 = 25
AD = 5 cm.

Jika AD = 5 cm, dan kita memiliki angka 4 cm dan 2 cm, bagaimana ini bisa membentuk AD = 5 cm?
Misalkan ada titik B pada garis AD, dengan AB = 4 cm dan BD = 2 cm, maka AD = 6 cm (tidak cocok).
Misalkan ada titik B pada garis AD, dengan AD = 5 cm, AB = 4 cm, maka DB = AD - AB = 5 - 4 = 1 cm (tidak cocok dengan 2 cm).
Atau DB = AB - AD = 4 - 5 (tidak mungkin).
Atau B di luar segmen AD.

Jika kita berasumsi bahwa segitiga ADC siku-siku di A:
CD^2 = AC^2 + AD^2
12^2 = 13^2 + AD^2
144 = 169 + AD^2
AD^2 = 144 - 169 = -25 (tidak mungkin).

Jika kita berasumsi bahwa segitiga ADC siku-siku di C:
AD^2 = AC^2 + CD^2
AD^2 = 13^2 + 12^2
AD^2 = 169 + 144 = 313
AD = sqrt(313).

Mari kita coba interpretasi lain dari angka-angka tersebut sebagai panjang sisi-sisi yang relevan.
Ada sebuah triple Pythagoras yang terkenal: 5, 12, 13.
Jika kita memiliki sisi 12 cm dan 13 cm, sisi ketiga yang membuat segitiga siku-siku adalah 5 cm.

Jadi, agar sudut CAD siku-siku, dua kemungkinan:
1. Sisi-sisi segitiga CAD adalah 5, 12, 13, dengan sisi miring 13.
   Jika AC = 13 (sisi miring), maka AD = 5 dan CD = 12 (atau sebaliknya).
   Jika CD = 12, maka AD harus 5.
   Bagaimana angka 4 cm dan 2 cm menghasilkan AD = 5 cm?
   Jika D, B, A segaris, dan AB = 4 cm, BD = 2 cm, maka AD = 6 cm.
   Jika D, B, A segaris, dan AD = 5 cm, AB = 4 cm, maka DB = 1 cm.
   Jika D, B, A segaris, dan AD = 5 cm, DB = 2 cm, maka AB = 3 cm atau 7 cm.

2. Sisi-sisi segitiga CAD adalah 12, x, 13, dengan sudut CAD siku-siku.
   Maka CD^2 = AC^2 + AD^2 (Ini tidak mungkin karena CD < AC).
   Atau AD^2 = AC^2 + CD^2 (Ini tidak mungkin karena AD harus sisi miring).
   Satu-satunya kemungkinan agar sudut CAD siku-siku adalah jika AC dan AD adalah sisi-sisi siku-siku dan CD adalah sisi miringnya, ATAU AD dan CD adalah sisi-sisi siku-siku dan AC adalah sisi miringnya.

Kasus 1: Sudut CAD siku-siku, maka AC dan AD adalah sisi siku-siku, CD adalah sisi miring.
CD^2 = AC^2 + AD^2
12^2 = 13^2 + AD^2
144 = 169 + AD^2
AD^2 = -25 (Tidak mungkin)

Kasus 2: Sudut ADC siku-siku, maka AD dan CD adalah sisi siku-siku, AC adalah sisi miring.
AC^2 = AD^2 + CD^2
13^2 = AD^2 + 12^2
169 = AD^2 + 144
AD^2 = 25
AD = 5 cm.

Jika AD = 5 cm, dan kita punya angka 4 cm dan 2 cm.
Kemungkinan agar AD = 5:
   - Ada titik B pada AD sedemikian rupa sehingga AB = 4 cm dan BD = 1 cm (tidak cocok dengan 2 cm).
   - Ada titik B pada AD sedemikian rupa sehingga DB = 2 cm dan AB = 3 cm (tidak cocok dengan 4 cm).
   - Ada titik B pada AD sedemikian rupa sehingga AB = x dan BD = y, dengan x+y=5.

Jika kita mengasumsikan bahwa titik B terletak sedemikian rupa sehingga AD = 5 cm, dan informasi 4 cm dan 2 cm digunakan untuk menunjukkan ini.
Misalkan ada sebuah persegi panjang atau trapesium yang membentuk ini.

Jika kita mengasumsikan bahwa titik D, B, A segaris dan urutannya adalah D-B-A, dengan DB = 2 cm dan BA = 4 cm, maka AD = 6 cm.
Dengan AC = 13 cm dan CD = 12 cm, kita sudah periksa bahwa segitiga CAD tidak siku-siku di A.

Jika kita mengasumsikan bahwa titik A, B, D segaris dan urutannya adalah A-B-D, dengan AB = 4 cm dan BD = 2 cm, maka AD = 6 cm.
Ini juga tidak menghasilkan segitiga siku-siku.

Untuk membuktikan sudut CAD siku-siku, kita perlu memastikan bahwa sisi-sisinya memenuhi teorema Pythagoras. Berdasarkan angka yang diberikan, satu-satunya cara agar segitiga CAD siku-siku adalah jika sisi-sisinya adalah 5, 12, dan 13, dan sudut siku-siku terletak di antara sisi 5 dan 12.

Jika AC = 13 cm (sisi miring) dan CD = 12 cm, maka AD harus 5 cm agar sudut CAD siku-siku di A.
Jika AD = 5 cm, dan kita diberikan angka 4 cm dan 2 cm, kita perlu menunjukkan bagaimana AD menjadi 5 cm.

Asumsi: Titik D, B, A adalah kolinear (segaris) dalam urutan D-B-A. Diberikan DB = 2 cm dan BA = 4 cm. Maka panjang AD = DB + BA = 2 + 4 = 6 cm. Dengan AC = 13 cm dan CD = 12 cm, kita periksa apakah CAD siku-siku di A: AC^2 = 13^2 = 169, AD^2 + CD^2 = 6^2 + 12^2 = 36 + 144 = 180. Karena 169 ≠ 180, sudut CAD tidak siku-siku.

Asumsi lain: Titik C, B, A segaris. D adalah titik lain. CD=12, CA=13. Angka 2 dan 4 perlu digunakan.

Mari kita asumsikan ada sebuah titik B sedemikian rupa sehingga segitiga CDB siku-siku di B, dengan DB = 2 cm dan CB = 4 cm. Maka CD^2 = DB^2 + CB^2 = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20. Ini bertentangan dengan CD = 12 cm.

Asumsi yang paling masuk akal untuk membuat soal ini dapat diselesaikan adalah bahwa segitiga CAD memiliki sisi 5, 12, 13, dan sudut siku-siku di A.
Ini berarti AC = 13 cm, CD = 12 cm, dan AD = 5 cm.
Jika AD = 5 cm, dan ada titik B pada AD sedemikian rupa sehingga AB = 4 cm dan BD = 2 cm, ini tidak konsisten karena AB + BD = 4 + 2 = 6 cm, bukan 5 cm.

Namun, jika kita mengabaikan urutan titik D C A B dan fokus pada angka-angka:
Kita punya panjang 13 cm, 12 cm, 2 cm, 4 cm. Kita ingin membuktikan sudut CAD siku-siku.
Agar CAD siku-siku, maka CD^2 = AC^2 + AD^2 atau AC^2 = AD^2 + CD^2 atau AD^2 = AC^2 + CD^2.

Dengan AC = 13, CD = 12, kita perlu AD.
Jika AD = 5, maka 13^2 = 5^2 + 12^2 (169 = 25 + 144), yang benar. Jadi, jika AD = 5, maka sudut ADC = 90 derajat.
Jika AD = sqrt(169-144) = sqrt(25) = 5.
Jika AC = 13, CD = 12, AD = 5, maka sudut CAD bukan siku-siku, tapi sudut ADC adalah siku-siku.

Jika sudut CAD siku-siku, maka CD adalah sisi miringnya.
CD^2 = AC^2 + AD^2
12^2 = 13^2 + AD^2
144 = 169 + AD^2
AD^2 = -25 (Tidak mungkin)

Jika sudut ACD siku-siku, maka AD adalah sisi miringnya.
AD^2 = AC^2 + CD^2
AD^2 = 13^2 + 12^2
AD^2 = 169 + 144 = 313
AD = sqrt(313)

Satu-satunya cara agar sudut CAD siku-siku adalah jika AC dan AD adalah sisi siku-siku.
Misalkan AD = x, AC = 13, CD = 12.
Agar CAD siku-siku:
CD^2 = AC^2 + AD^2 => 12^2 = 13^2 + x^2 (Tidak mungkin)

Bagaimana jika 4 cm dan 2 cm adalah panjang dari dua sisi yang membentuk AD?
Misalkan ada sebuah persegi panjang dengan panjang 4 dan lebar 2. Diagonalnya adalah sqrt(4^2 + 2^2) = sqrt(16+4) = sqrt(20).
Ini tidak membantu.

Jika kita mengasumsikan bahwa ada titik B sedemikian rupa sehingga segitiga ABC siku-siku di B, AB = 4, BC = x.
Jika D adalah titik pada AB sehingga DB = 2, maka AD = 2.
Dalam segitiga ACD, kita punya AC = 13, CD = 12, AD = 2.
Kita cek apakah CAD siku-siku:
AC^2 = 13^2 = 169
AD^2 + CD^2 = 2^2 + 12^2 = 4 + 144 = 148.
Karena 169 ≠ 148, sudut CAD tidak siku-siku.

Jika D adalah titik pada AB sehingga AD = 2, maka DB = 2.
Dalam segitiga ACD, kita punya AC = 13, CD = 12, AD = 2.
Ini sama seperti di atas.

Jika kita mengasumsikan bahwa segitiga BCD siku-siku di B, DB = 2, BC = 4, maka CD^2 = 2^2 + 4^2 = 20, bukan 12.

Jika kita mengasumsikan bahwa segitiga ABD siku-siku di B, AB = 4, BD = 2, maka AD = sqrt(4^2+2^2) = sqrt(20).

Mari kita perhatikan kembali input: "D C A B 13 cm 12 cm 2 cm 4 cm".
Kemungkinan besar, 13 cm dan 12 cm adalah dua sisi dari segitiga CAD, dan 4 cm dan 2 cm adalah informasi untuk menentukan sisi ketiga, atau panjang segmen pada salah satu sisi.

Jika kita menganggap bahwa titik-titik tersebut membentuk sebuah bangun datar dan kita perlu membuktikan CAD siku-siku:
Misalkan titik D berada di origin (0,0).
Jika sudut CAD siku-siku, maka A harus berada pada sumbu x atau y, dan C berada pada sumbu lain.

Jika D=(0,0), A=(x_A, 0), C=(0, y_C).
AD = |x_A|
AC = |y_C|
CD = sqrt(x_A^2 + y_C^2).
Kita punya AC=13, CD=12.
Ini berarti CD bukan sisi miring jika AC adalah salah satu sisi siku-siku.

Jika A=(0,0), D=(x_D, 0), C=(0, y_C).
AD = |x_D|
AC = |y_C|
CD = sqrt(x_D^2 + y_C^2).
Ini adalah segitiga siku-siku di A.
Kita ingin membuktikan CAD siku-siku, jadi A adalah sudut siku-siku.
AC = 13, CD = 12. Maka AD harus memenuhi:
CD^2 = AC^2 + AD^2
12^2 = 13^2 + AD^2
144 = 169 + AD^2
AD^2 = -25 (Tidak mungkin)

Satu-satunya kemungkinan agar ada sudut siku-siku adalah jika sisi-sisinya adalah 5, 12, 13.
Jika sisi-sisi segitiga CAD adalah 5, 12, 13, maka:
- Jika 13 adalah sisi miring, maka sudut di hadapannya adalah 90 derajat.
  Jika AC = 13 (sisi miring), maka sudut ADC = 90 derajat.
  Jika CD = 13 (sisi miring), maka sudut CAD = 90 derajat.
  Jika AD = 13 (sisi miring), maka sudut ACD = 90 derajat.

Mari kita coba skenario di mana sudut CAD = 90 derajat.
Ini berarti AC dan AD adalah sisi siku-siku, dan CD adalah sisi miring.
CD^2 = AC^2 + AD^2
12^2 = 13^2 + AD^2
144 = 169 + AD^2
AD^2 = -25 (Tidak mungkin).

Oleh karena itu, berdasarkan angka yang diberikan (13 cm, 12 cm) dan permintaan untuk membuktikan sudut CAD siku-siku, harus ada kesalahan dalam soal atau cara interpretasinya.

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa angka-angka tersebut mengarah pada triple Pythagoras (5, 12, 13) dan bahwa sudut ADC yang siku-siku (karena 13 adalah hipotenusa), dan bahwa angka 4 cm dan 2 cm digunakan untuk membentuk AD = 5 cm:
Misalkan D, B, A segaris dalam urutan D-B-A. Misalkan AD = 5 cm. Jika AB = 4 cm, maka DB = AD - AB = 5 - 4 = 1 cm. Ini tidak sesuai dengan DB = 2 cm.
Jika DB = 2 cm, maka AB = AD - DB = 5 - 2 = 3 cm. Ini tidak sesuai dengan AB = 4 cm.

Mari kita coba interpretasi lain:
Misalkan ada titik B sedemikian rupa sehingga segitiga ABD siku-siku di B, dengan AB = 4 cm dan BD = 2 cm. Maka AD = sqrt(4^2 + 2^2) = sqrt(20).
Dalam segitiga ACD, kita punya AC = 13, CD = 12, AD = sqrt(20).
Periksa apakah CAD siku-siku:
AC^2 = 13^2 = 169
AD^2 + CD^2 = (sqrt(20))^2 + 12^2 = 20 + 144 = 164.
Karena 169 ≠ 164, sudut CAD tidak siku-siku.

Kemungkinan soal ini mengacu pada teorema Pythagoras terbalik, di mana kita harus menunjukkan bahwa kuadrat salah satu sisi sama dengan jumlah kuadrat dua sisi lainnya.

Jika kita menganggap bahwa 4 cm dan 2 cm digunakan untuk membentuk sebuah sisi.
Misalkan AD = 4+2 = 6. Kita sudah cek: 13^2 vs 12^2 + 6^2 -> 169 vs 180. Tidak.
Misalkan AD = 4-2 = 2. Kita sudah cek: 13^2 vs 12^2 + 2^2 -> 169 vs 148. Tidak.

Kemungkinan besar, ada informasi yang hilang atau salah dalam soal ini untuk dapat dibuktikan secara matematis.

Namun, jika kita *dipaksa* untuk menggunakan triple Pythagoras 5, 12, 13 untuk menunjukkan sudut siku-siku, maka:
Agar sudut CAD siku-siku, sisi-sisi yang membentuknya (AC dan AD) haruslah sisi siku-siku, dan sisi di depannya (CD) adalah sisi miring.
Ini berarti: CD^2 = AC^2 + AD^2.
12^2 = 13^2 + AD^2
144 = 169 + AD^2
AD^2 = -25 (Tidak mungkin)

Kesimpulan sementara: Soal ini tidak dapat diselesaikan sebagaimana adanya, atau ada interpretasi kunci yang hilang dari diagram yang tidak disertakan.