Pada persegi panjang KLMN, titik O adalah titik tengah

2/3 x + 1/3 y

Pembahasan

Misalkan vektor KL = x dan vektor KN = y. Karena KLMN adalah persegi panjang, maka vektor KN tegak lurus dengan vektor KL, dan panjang KL sama dengan panjang NM, serta panjang KN sama dengan panjang LM.
Titik O adalah titik tengah vektor KL, sehingga vektor KO = 1/2 vektor KL = 1/2 x.

Untuk mencari vektor LN, kita bisa menggunakan penjumlahan vektor:
vektor LN = vektor LK + vektor KN = -vektor KL + vektor KN = -x + y.

Titik P adalah titik potong vektor OM dengan diagonal vektor LN. Kita perlu mencari vektor OM terlebih dahulu.
vektor OM = vektor OK + vektor KN + vektor NM
vektor OM = -1/2 vektor KL + vektor KN + vektor KL
vektor OM = 1/2 vektor KL + vektor KN
vektor OM = 1/2 x + y

Sekarang, kita cari vektor OP. Karena P terletak pada LN, maka vektor OP dapat ditulis sebagai:
vektor OP = vektor OL + t * vektor LN, dimana t adalah skalar.
Atau kita bisa mencari perbandingan vektor OP terhadap LN.

Karena P adalah titik potong OM dan LN, kita bisa menggunakan konsep kesamaan vektor.
Misalkan vektor OP = k * vektor OM = k * (1/2 x + y)
Dan vektor OP juga merupakan bagian dari vektor LN. Untuk menentukan posisi P pada LN, kita perlu menganalisis lebih lanjut geometri atau menggunakan koordinat.

Alternatif lain, kita dapat menggunakan vektor posisi.
Misalkan K = (0,0). Maka L = (x1, 0) jika x = (x1, 0).
N = (0, y1) jika y = (0, y1).
O = (x1/2, 0).

Persamaan garis LN:
vektor r = vektor KN + t * vektor KL
vektor r = (0, y1) + t * (x1, 0) = (t*x1, y1)
Ini adalah garis horizontal y = y1.
Namun, ini salah karena K=(0,0), L=(x1,0), N=(0,y1) membuat KLMN menjadi persegi panjang jika x1=0 atau y1=0, yang bukan persegi panjang.

Mari gunakan vektor saja:
K adalah titik asal (0,0).
vektor KL = x
vektor KN = y
vektor LM = y
vektor NM = -x

O adalah titik tengah KL, jadi vektor KO = 1/2 x.
vektor OM = vektor OK + vektor KN + vektor NM = -1/2 x + y + (-x) = y - 3/2 x. Ini salah.

vektor OM = vektor OK + vektor KM
vektor KM = vektor KL + vektor LM = x + y
vektor OM = 1/2 x + (x+y) = 3/2 x + y. Ini juga salah.

Mari kita gunakan vektor dari titik K.
K=(0,0)
L = K + x = x
N = K + y = y
M = K + vektor KL + vektor LM = x + y

O adalah titik tengah KL.
vektor KO = 1/2 vektor KL = 1/2 x.
vektor OM = vektor OK + vektor KM = -1/2 x + (x+y) = 1/2 x + y.

Diagonal LN:
vektor LN = vektor KN - vektor KL = y - x.

P adalah titik potong OM dan LN.
vektor OP = vektor ON + s * vektor NL = y + s * (x - y) = (1-s)y + sx
vektor OP = vektor OK + r * vektor OM = 1/2 x + r * (1/2 x + y) = (1/2 + r/2)x + ry

Menyamakan koefisien x dan y:
Koefisien x: s = 1/2 + r/2  => 2s = 1 + r
Koefisien y: 1 - s = r

Substitusikan r ke persamaan pertama:
2s = 1 + (1 - s)
2s = 2 - s
3s = 2
s = 2/3

Maka, r = 1 - s = 1 - 2/3 = 1/3.

Sekarang kita bisa mencari vektor OP menggunakan salah satu persamaan:
vektor OP = (1-s)y + sx = (1 - 2/3)y + (2/3)x = 1/3 y + 2/3 x
Atau
vektor OP = (1/2 + r/2)x + ry = (1/2 + (1/3)/2)x + (1/3)y = (1/2 + 1/6)x + 1/3 y = (3/6 + 1/6)x + 1/3 y = 4/6 x + 1/3 y = 2/3 x + 1/3 y.

Jadi, vektor OP = 2/3 x + 1/3 y.