Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah akar(3) cm, sedangkan

\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) cm

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan geometri ruang, khususnya jarak antara titik dan bidang dalam kubus.

Diketahui:
*   Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk = \(\sqrt{3}\) cm.
*   Q adalah titik pada AD sehingga AQ = 1 cm.
*   Kita perlu mencari jarak dari titik A ke bidang BQF.

Langkah-langkah penyelesaian:
1.  **Visualisasi Kubus dan Bidang:**
    Bayangkan kubus ABCD.EFGH. Titik A adalah salah satu sudut, dan bidang BQF dibentuk oleh titik B (sudut), Q (pada rusuk AD), dan F (sudut atas yang berhadapan dengan A).

2.  **Menentukan Posisi Titik dan Bidang dalam Sistem Koordinat:**
    Untuk memudahkan perhitungan jarak, kita bisa menggunakan sistem koordinat Kartesius.
    Misalkan titik A sebagai titik asal (0, 0, 0).
    Karena rusuk kubus adalah \(\sqrt{3}\), kita bisa menentukan koordinat titik-titik lainnya:
    *   A = (0, 0, 0)
    *   B = (\(\sqrt{3}\), 0, 0)  (sepanjang sumbu x)
    *   D = (0, \(\sqrt{3}\), 0)  (sepanjang sumbu y)
    *   E = (0, 0, \(\sqrt{3}\))  (sepanjang sumbu z)

    Karena Q pada AD dan AQ = 1 cm, maka koordinat Q adalah:
    *   Q = (0, 1, 0) (karena Q berada pada sumbu y, sejauh 1 dari A)

    Sekarang kita perlu koordinat titik F. F berada di atas B, sejajar dengan AE.
    *   F = (\(\sqrt{3}\), 0, \(\sqrt{3}\))

3.  **Menentukan Vektor-vektor yang Membentuk Bidang BQF:**
    Kita memerlukan dua vektor yang berada di bidang BQF dan berpotongan di satu titik (misalnya B).
    *   Vektor \(\vec{BQ}\):
        \(\vec{BQ} = Q - B = (0, 1, 0) - (\(\sqrt{3}\), 0, 0) = (-\(\sqrt{3}\), 1, 0)\)
    *   Vektor \(\vec{BF}\):
        \(\vec{BF} = F - B = (\(\sqrt{3}\), 0, \(\sqrt{3}\)) - (\(\sqrt{3}\), 0, 0) = (0, 0, \(\sqrt{3}\))\)

4.  **Menentukan Vektor Normal Bidang (N):**
    Vektor normal bidang adalah vektor yang tegak lurus terhadap bidang tersebut. Kita dapat menemukannya dengan hasil perkalian silang (cross product) dari \(\vec{BQ}\) dan \(\vec{BF}\).
    \(\vec{N} = \vec{BQ} \times \vec{BF}\)
    \(\vec{N} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -\sqrt{3} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3} \end{vmatrix}\)
    \(\vec{N} = i(1*\sqrt{3} - 0*0) - j(-\sqrt{3}*\sqrt{3} - 0*0) + k(-\sqrt{3}*0 - 1*0)\)
    \(\vec{N} = i(\sqrt{3}) - j(-3) + k(0)\)
    \(\vec{N} = \sqrt{3}i + 3j + 0k\)
    Jadi, vektor normal \(\vec{N} = (\sqrt{3}, 3, 0)\).

5.  **Menghitung Jarak Titik ke Bidang:**
    Jarak dari titik A(x₀, y₀, z₀) ke bidang Ax + By + Cz + D = 0 diberikan oleh rumus:
    Jarak = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / \(\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}\)

    Pertama, kita perlu persamaan bidang BQF. Kita tahu vektor normalnya adalah \(\vec{N} = (\sqrt{3}, 3, 0)\). Persamaan bidang dapat ditulis sebagai \(Ax + By + Cz + D = 0\), di mana A = \(\sqrt{3}\), B = 3, C = 0.
    Jadi, persamaannya adalah \(\sqrt{3}x + 3y + 0z + D = 0\) atau \(\sqrt{3}x + 3y + D = 0\).

    Karena titik B(\(\sqrt{3}\), 0, 0) berada di bidang ini, kita bisa substitusikan koordinat B untuk mencari D:
    \(\sqrt{3}(\sqrt{3}) + 3(0) + D = 0\)
    3 + 0 + D = 0
    D = -3

    Jadi, persamaan bidang BQF adalah \(\sqrt{3}x + 3y - 3 = 0\).

    Sekarang, kita hitung jarak dari titik A(0, 0, 0) ke bidang ini:
    Jarak = |(\sqrt{3})(0) + 3(0) - 3| / \(\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2 + 0^2}\)
    Jarak = |0 + 0 - 3| / \(\sqrt{3 + 9 + 0}\)
    Jarak = |-3| / \(\sqrt{12}\)
    Jarak = 3 / \(\sqrt{12}\)

    Sederhanakan \(\sqrt{12}\):
    \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\)

    Jadi, Jarak = 3 / \(2\sqrt{3}\)

    Untuk merasionalkan penyebut, kalikan pembilang dan penyebut dengan \(\sqrt{3}\):
    Jarak = (3 * \(\sqrt{3}\)) / (2\sqrt{3} * \(\sqrt{3}\))
    Jarak = 3\(\sqrt{3}\) / (2 * 3)
    Jarak = 3\(\sqrt{3}\) / 6
    Jarak = \(\sqrt{3}\) / 2

Jadi, jarak dari titik A ke bidang BQF adalah \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) cm.