Parabola y=ax^2+bx+c memiliki puncak dengan koordinat

$12$.

Pembahasan

Persamaan parabola diberikan oleh $y = ax^2 + bx + c$.
Puncak parabola berada di koordinat $(4, 2)$. Koordinat puncak $(h, k)$ dari parabola $y = a(x-h)^2 + k$ dapat digunakan. Namun, kita juga dapat menggunakan turunan untuk menemukan puncak. 
Pada puncak, turunan pertama terhadap $x$ adalah nol: $\frac{dy}{dx} = 2ax + b = 0$.
Karena puncaknya adalah $(4, 2)$, maka pada $x=4$, turunannya adalah nol: $2a(4) + b = 0 \\implies 8a + b = 0 \\implies b = -8a$.
Selain itu, puncak $(4, 2)$ terletak pada parabola, sehingga kita bisa substitusikan ke persamaan: $2 = a(4)^2 + b(4) + c \\implies 2 = 16a + 4b + c$.
Kita juga diberikan bahwa titik $(2, 0)$ terletak pada parabola. Substitusikan titik ini ke persamaan: $0 = a(2)^2 + b(2) + c \\implies 0 = 4a + 2b + c$.
Sekarang kita memiliki sistem tiga persamaan dengan tiga variabel ($a, b, c$):
1) $b = -8a$
2) $2 = 16a + 4b + c$
3) $0 = 4a + 2b + c$
Substitusikan (1) ke (2) dan (3):
Dari (2): $2 = 16a + 4(-8a) + c \\implies 2 = 16a - 32a + c \\implies 2 = -16a + c \\implies c = 2 + 16a$.
Dari (3): $0 = 4a + 2(-8a) + c \\implies 0 = 4a - 16a + c \\implies 0 = -12a + c \\implies c = 12a$.
Sekarang kita punya dua ekspresi untuk $c$: $c = 2 + 16a$ dan $c = 12a$.
Samakan kedua ekspresi tersebut: $12a = 2 + 16a \\implies -4a = 2 \\implies a = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.
Sekarang cari $b$ menggunakan $b = -8a$: $b = -8(-\frac{1}{2}) = 4$.
Sekarang cari $c$ menggunakan $c = 12a$: $c = 12(-\frac{1}{2}) = -6$.
Jadi, $a = -\frac{1}{2}$, $b = 4$, dan $c = -6$.
Kita perlu menghitung $abc$: $abc = (-\frac{1}{2}) \times (4) \times (-6) = (-2) \times (-6) = 12$.

Verifikasi dengan puncak: $y = -\frac{1}{2}x^2 + 4x - 6$. Puncak $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-\frac{1}{2})} = -\frac{4}{-1} = 4$. Puncak $y = -\frac{1}{2}(4)^2 + 4(4) - 6 = -\frac{1}{2}(16) + 16 - 6 = -8 + 16 - 6 = 8 - 6 = 2$. Puncak adalah $(4, 2)$, sesuai.
Verifikasi dengan titik $(2, 0)$: $y = -\frac{1}{2}(2)^2 + 4(2) - 6 = -\frac{1}{2}(4) + 8 - 6 = -2 + 8 - 6 = 6 - 6 = 0$. Titik $(2, 0)$ juga terletak pada parabola, sesuai.