Penyelesaian persamaan sin x+cos x=0 dengan 0<x<360

135° dan 315°

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan sin x + cos x = 0 dengan rentang 0 < x < 360 derajat, kita dapat menggunakan beberapa metode. Salah satunya adalah dengan mengubah bentuk persamaan.

Metode 1: Mengubah ke bentuk tan x.
Bagilah kedua sisi persamaan dengan cos x (dengan asumsi cos x ≠ 0):
sin x / cos x + cos x / cos x = 0 / cos x
tan x + 1 = 0
tan x = -1

Sekarang kita perlu mencari nilai x dalam rentang 0 < x < 360 derajat di mana nilai tan x adalah -1.

Fungsi tangen bernilai negatif di kuadran II dan IV.

Kuadran II: Nilai referensi untuk tan x = 1 adalah 45 derajat. Di kuadran II, sudutnya adalah 180 derajat - 45 derajat = 135 derajat.
Jadi, x = 135 derajat.

Kuadran IV: Di kuadran IV, sudutnya adalah 360 derajat - 45 derajat = 315 derajat.
Jadi, x = 315 derajat.

Kita perlu memastikan bahwa cos x ≠ 0 untuk nilai x yang kita temukan. Jika cos x = 0, maka x = 90 derajat atau x = 270 derajat. Pada nilai-nilai ini, sin x adalah 1 atau -1, sehingga sin x + cos x tidak akan sama dengan 0. Oleh karena itu, pembagian dengan cos x valid.

Metode 2: Menggunakan identitas R sin(x + α) atau R cos(x - α).
Kita bisa menulis sin x + cos x dalam bentuk R sin(x + α).
Ingat bahwa R sin(x + α) = R(sin x cos α + cos x sin α).
Jika kita samakan sin x + cos x = R sin x cos α + R cos x sin α, maka:
R cos α = 1
R sin α = 1

Kuadratkan kedua persamaan dan jumlahkan:
(R cos α)² + (R sin α)² = 1² + 1²
R² cos² α + R² sin² α = 1 + 1
R²(cos² α + sin² α) = 2
R²(1) = 2
R = √2 (karena R harus positif)

Sekarang cari α:
tan α = (R sin α) / (R cos α) = 1 / 1 = 1
Karena sin α dan cos α positif, α berada di kuadran I. Jadi, α = 45 derajat.

Maka, sin x + cos x = √2 sin(x + 45°).

Sekarang selesaikan √2 sin(x + 45°) = 0:
sin(x + 45°) = 0

Nilai sudut di mana sinus adalah 0 adalah 0°, 180°, 360°, dst.

Jadi, x + 45° = 0° + k * 180° (karena sin θ = 0 ketika θ = kπ atau k*180°)

Untuk k = 0: x + 45° = 0° => x = -45°. (Di luar rentang)
Untuk k = 1: x + 45° = 180° => x = 180° - 45° = 135°.
Untuk k = 2: x + 45° = 360° => x = 360° - 45° = 315°.
Untuk k = 3: x + 45° = 540° => x = 540° - 45° = 495°. (Di luar rentang)

Jadi, solusi dalam rentang 0 < x < 360 derajat adalah x = 135 derajat dan x = 315 derajat.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.

Penyelesaian persamaan sin x + cos x = 0 dengan 0 < x < 360 adalah 135° dan 315°.