Persamaan garis singgung dari y = tan x di titik (pi/4, 1)

y = 2x - π/2 + 1

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung dari \(y = \tan x\) di titik \((\frac{\pi}{4}, 1)\), kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Cari turunan pertama dari fungsi \(y = \tan x\).**
    Turunan dari \(\tan x\) adalah \(\sec^2 x\).
    Jadi, \(y' = \frac{dy}{dx} = \sec^2 x\).

2.  **Hitung gradien garis singgung di titik yang diberikan.**
    Gradien (m) adalah nilai turunan pertama di \(x = \frac{\pi}{4}\).
    \(m = y'(\frac{\pi}{4}) = \sec^2(\frac{\pi}{4})\).
    Kita tahu bahwa \(\sec x = \frac{1}{\cos x}\).
    Dan \(\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
    Jadi, \(\sec(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\).
    Kemudian, \(m = (\sqrt{2})^2 = 2\).
    Jadi, gradien garis singgung adalah 2.

3.  **Gunakan rumus persamaan garis singgung.**
    Rumus persamaan garis yang melalui satu titik \((x_1, y_1)\) dengan gradien \(m\) adalah \(y - y_1 = m(x - x_1)\).
    Titik yang diberikan adalah \((\frac{\pi}{4}, 1)\), jadi \(x_1 = \frac{\pi}{4}\) dan \(y_1 = 1\).
    Gradien \(m = 2\).

    Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam rumus:
    \(y - 1 = 2(x - \frac{\pi}{4})\)

4.  **Sederhanakan persamaan.**
    \(y - 1 = 2x - 2 \times \frac{\pi}{4}\)
    \(y - 1 = 2x - \frac{\pi}{2}\)
    \(y = 2x - \frac{\pi}{2} + 1\)

Jadi, persamaan garis singgung dari \(y = \tan x\) di titik \((\frac{\pi}{4}, 1)\) adalah \(y = 2x - \frac{\pi}{2} + 1\).