Tentukan nilai limit x-> (x-2 sinx)/tanx=...

Nilai limitnya adalah 0.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit x->0 dari fungsi (x - sinx)/tanx, kita bisa menggunakan beberapa metode, salah satunya adalah aturan L'Hopital atau dengan menguraikan tanx menjadi sinx/cosx.

Metode 1: Menggunakan Aturan L'Hopital
Jika kita substitusi x=0 langsung ke dalam fungsi, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0:
(0 - sin(0))/tan(0) = (0 - 0)/0 = 0/0

Karena bentuknya tak tentu, kita bisa menerapkan aturan L'Hopital, yaitu menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah terhadap x.
Turunan dari pembilang (x - sinx) adalah 1 - cosx.
Turunan dari penyebut (tanx) adalah sec²x.

Jadi, limitnya menjadi:
lim (x->0) (1 - cosx) / sec²x

Sekarang, substitusikan x=0 lagi:
(1 - cos(0)) / sec²(0)
(1 - 1) / (1/cos(0))²
0 / (1/1)²
0 / 1²
0 / 1 = 0

Metode 2: Menguraikan tanx
Kita tahu bahwa tanx = sinx / cosx.
Jadi, fungsi bisa ditulis sebagai:
(x - sinx) / (sinx / cosx)
= (x - sinx) * (cosx / sinx)
= (x * cosx - sinx * cosx) / sinx
= (x * cosx) / sinx - (sinx * cosx) / sinx
= x / (sinx / cosx) - cosx
= x / tanx - cosx

Sekarang kita cari limitnya:
lim (x->0) [x / tanx - cosx]

Kita tahu bahwa lim (x->0) sinx/x = 1, sehingga lim (x->0) x/sinx = 1.
Kita juga tahu bahwa lim (x->0) tanx/x = 1, sehingga lim (x->0) x/tanx = 1.
Dan lim (x->0) cosx = cos(0) = 1.

Menggunakan lim (x->0) x/tanx = 1:
lim (x->0) [x / tanx] - lim (x->0) [cosx]
= 1 - 1
= 0

Kedua metode memberikan hasil yang sama.

Jadi, nilai limit x->0 dari (x - sinx)/tanx adalah 0.