Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 11Kelas 12mathKalkulus

Rendi bermain bola kasti dengan teman-temannya. Kecepatan

Pertanyaan

Jika kecepatan Rendi melempar bola kasti adalah v0 dm/s dan jarak bola setelah t sekon dinyatakan dengan fungsi s(t)=t^5-40/3 t^3+80t, berapakah jarak maksimum Rendi dengan lawannya saat melempar bola sehingga bola tersebut dapat mengenai lawannya?

Solusi

Verified

Jarak maksimumnya adalah 256/3 meter.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan aplikasi turunan dalam fisika, khususnya untuk mencari nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi posisi. Fungsi jarak (posisi) bola setelah t sekon diberikan oleh: s(t) = t⁵ - (40/3)t³ + 80t Kecepatan bola adalah turunan pertama dari fungsi jarak terhadap waktu (t), yaitu v(t) = s'(t). s'(t) = d/dt (t⁵ - (40/3)t³ + 80t) s'(t) = 5t⁴ - (40/3) * 3t² + 80 s'(t) = 5t⁴ - 40t² + 80 Untuk mencari jarak maksimum, kita perlu mencari kapan kecepatan bola menjadi nol (titik kritis). Ini terjadi ketika bola berhenti sejenak sebelum mungkin kembali atau mencapai ketinggian maksimum. Setel s'(t) = 0: 5t⁴ - 40t² + 80 = 0 Bagi seluruh persamaan dengan 5: t⁴ - 8t² + 16 = 0 Persamaan ini adalah persamaan kuadrat jika kita misalkan u = t². Maka persamaan menjadi: u² - 8u + 16 = 0 Faktorkan persamaan kuadrat ini: (u - 4)(u - 4) = 0 (u - 4)² = 0 u = 4 Karena u = t², maka: t² = 4 t = ±2 Karena waktu (t) tidak mungkin negatif dalam konteks fisika ini, kita ambil t = 2 detik. Untuk memastikan bahwa t=2 adalah titik maksimum, kita bisa menggunakan uji turunan kedua atau menganalisis perilaku fungsi. Mari kita uji turunan kedua (percepatan), a(t) = v'(t) = s''(t): s''(t) = d/dt (5t⁴ - 40t² + 80) s''(t) = 20t³ - 80t Evaluasi s''(t) pada t = 2: s''(2) = 20(2)³ - 80(2) s''(2) = 20(8) - 160 s''(2) = 160 - 160 s''(2) = 0 Uji turunan kedua menghasilkan nol, yang berarti t=2 bisa jadi titik belok atau titik maksimum/minimum. Mari kita periksa nilai s(t) di sekitar t=2: s(1) = 1⁵ - (40/3)(1)³ + 80(1) = 1 - 40/3 + 80 = 81 - 40/3 = (243 - 40)/3 = 203/3 ≈ 67.67 s(2) = 2⁵ - (40/3)(2)³ + 80(2) = 32 - (40/3)(8) + 160 = 32 - 320/3 + 160 = 192 - 320/3 = (576 - 320)/3 = 256/3 ≈ 85.33 s(3) = 3⁵ - (40/3)(3)³ + 80(3) = 243 - (40/3)(27) + 240 = 243 - 40*9 + 240 = 243 - 360 + 240 = 123 Dari nilai-nilai ini, terlihat bahwa s(2) adalah nilai maksimum. Jarak maksimum Rendi dengan lawannya saat melempar bola adalah nilai s(t) pada t=2. Jarak maksimum = s(2) = 256/3 meter. Karena kecepatan awal v0 dm/s diberikan, dan fungsi jarak sudah dalam meter (dengan asumsi t dalam detik), maka nilai v0 tidak secara langsung digunakan dalam perhitungan ini kecuali jika ada kaitan yang lebih kompleks yang tidak tersirat. Jadi, jarak maksimum yang ditempuh bola adalah 256/3 meter.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Aplikasi Turunan
Section: Mencari Nilai Maksimum Minimum

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...