Rendi bermain bola kasti dengan teman-temannya. Kecepatan

Jarak maksimumnya adalah 256/3 meter.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan aplikasi turunan dalam fisika, khususnya untuk mencari nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi posisi.

Fungsi jarak (posisi) bola setelah t sekon diberikan oleh:
s(t) = t⁵ - (40/3)t³ + 80t

Kecepatan bola adalah turunan pertama dari fungsi jarak terhadap waktu (t), yaitu v(t) = s'(t).

s'(t) = d/dt (t⁵ - (40/3)t³ + 80t)
s'(t) = 5t⁴ - (40/3) * 3t² + 80
s'(t) = 5t⁴ - 40t² + 80

Untuk mencari jarak maksimum, kita perlu mencari kapan kecepatan bola menjadi nol (titik kritis). Ini terjadi ketika bola berhenti sejenak sebelum mungkin kembali atau mencapai ketinggian maksimum.

Setel s'(t) = 0:
5t⁴ - 40t² + 80 = 0

Bagi seluruh persamaan dengan 5:
t⁴ - 8t² + 16 = 0

Persamaan ini adalah persamaan kuadrat jika kita misalkan u = t².
Maka persamaan menjadi:
u² - 8u + 16 = 0

Faktorkan persamaan kuadrat ini:
(u - 4)(u - 4) = 0
(u - 4)² = 0
u = 4

Karena u = t², maka:
t² = 4
t = ±2

Karena waktu (t) tidak mungkin negatif dalam konteks fisika ini, kita ambil t = 2 detik.

Untuk memastikan bahwa t=2 adalah titik maksimum, kita bisa menggunakan uji turunan kedua atau menganalisis perilaku fungsi.
Mari kita uji turunan kedua (percepatan), a(t) = v'(t) = s''(t):
s''(t) = d/dt (5t⁴ - 40t² + 80)
s''(t) = 20t³ - 80t

Evaluasi s''(t) pada t = 2:
s''(2) = 20(2)³ - 80(2)
s''(2) = 20(8) - 160
s''(2) = 160 - 160
s''(2) = 0

Uji turunan kedua menghasilkan nol, yang berarti t=2 bisa jadi titik belok atau titik maksimum/minimum.
Mari kita periksa nilai s(t) di sekitar t=2:
s(1) = 1⁵ - (40/3)(1)³ + 80(1) = 1 - 40/3 + 80 = 81 - 40/3 = (243 - 40)/3 = 203/3 ≈ 67.67
s(2) = 2⁵ - (40/3)(2)³ + 80(2) = 32 - (40/3)(8) + 160 = 32 - 320/3 + 160 = 192 - 320/3 = (576 - 320)/3 = 256/3 ≈ 85.33
s(3) = 3⁵ - (40/3)(3)³ + 80(3) = 243 - (40/3)(27) + 240 = 243 - 40*9 + 240 = 243 - 360 + 240 = 123

Dari nilai-nilai ini, terlihat bahwa s(2) adalah nilai maksimum.

Jarak maksimum Rendi dengan lawannya saat melempar bola adalah nilai s(t) pada t=2.
Jarak maksimum = s(2) = 256/3 meter.

Karena kecepatan awal v0 dm/s diberikan, dan fungsi jarak sudah dalam meter (dengan asumsi t dalam detik), maka nilai v0 tidak secara langsung digunakan dalam perhitungan ini kecuali jika ada kaitan yang lebih kompleks yang tidak tersirat.

Jadi, jarak maksimum yang ditempuh bola adalah 256/3 meter.