Persamaan garis singgung elips2x^2+8y^2-12x-32y+34=0 yang

x + 2y = 11

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung elips 2x^2 + 8y^2 - 12x - 32y + 34 = 0 yang melalui titik (5, 3), pertama-tama kita perlu mengubah persamaan elips ke bentuk standar. 

2x^2 - 12x + 8y^2 - 32y = -34
2(x^2 - 6x) + 8(y^2 - 4y) = -34
2(x^2 - 6x + 9) + 8(y^2 - 4y + 4) = -34 + 2(9) + 8(4)
2(x - 3)^2 + 8(y - 2)^2 = -34 + 18 + 32
2(x - 3)^2 + 8(y - 2)^2 = 16
(x - 3)^2 / 8 + (y - 2)^2 / 2 = 1

Ini adalah bentuk standar elips dengan pusat (h, k) = (3, 2).

Selanjutnya, kita perlu memeriksa apakah titik (5, 3) berada di dalam, di luar, atau pada elips. Substitusikan (5, 3) ke dalam persamaan elips:
2(5)^2 + 8(3)^2 - 12(5) - 32(3) + 34
= 2(25) + 8(9) - 60 - 96 + 34
= 50 + 72 - 60 - 96 + 34
= 122 - 156 + 34
= -34 + 34
= 0

Karena hasilnya adalah 0, titik (5, 3) terletak pada elips.

Sekarang kita cari persamaan garis singgung di titik (x1, y1) = (5, 3) pada elips \(\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1\).
Persamaan garis singgungnya adalah \(\frac{(x_1-h)(x-h)}{a^2} + \frac{(y_1-k)(y-k)}{b^2} = 1\).

Dalam kasus ini, h=3, k=2, a^2=8, b^2=2, x1=5, y1=3.

\(\frac{(5-3)(x-3)}{8} + \frac{(3-2)(y-2)}{2} = 1\)
\(\frac{2(x-3)}{8} + \frac{1(y-2)}{2} = 1\)
\(\frac{x-3}{4} + \frac{y-2}{2} = 1\)
Kalikan kedua sisi dengan 4 untuk menghilangkan penyebut:
(x - 3) + 2(y - 2) = 4
x - 3 + 2y - 4 = 4
x + 2y - 7 = 4
x + 2y = 11

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah x + 2y = 11.