Persamaan garis singgung kurva y=-4x+x akar(x) yang sejajar

$5x + 2y + 1 = 0$

Pembahasan

Untuk mencari persamaan garis singgung kurva $y = -4x + x\sqrt{x}$ yang sejajar dengan garis $5x + 2y + 4 = 0$, kita perlu menentukan gradien dari garis yang diberikan terlebih dahulu. Gradien garis $5x + 2y + 4 = 0$ dapat dicari dengan mengubahnya ke bentuk $y = mx + c$, di mana $m$ adalah gradien. 
$2y = -5x - 4$
$y = -\frac{5}{2}x - 2$
Jadi, gradien garis singgung yang kita cari adalah $m = -\frac{5}{2}$.

Selanjutnya, kita cari turunan pertama dari fungsi kurva $y = -4x + x\sqrt{x} = -4x + x^{3/2}$. Turunan pertama, $y'$, menyatakan gradien garis singgung pada setiap titik di kurva.
$y' = \frac{d}{dx}(-4x + x^{3/2})$
$y' = -4 + \frac{3}{2}x^{(3/2 - 1)}$
$y' = -4 + \frac{3}{2}x^{1/2}$
$y' = -4 + \frac{3}{2}\sqrt{x}$

Karena gradien garis singgung harus sama dengan gradien garis yang sejajar dengannya, kita samakan $y'$ dengan $-\frac{5}{2}$.
$-4 + \frac{3}{2}\sqrt{x} = -\frac{5}{2}$
$\frac{3}{2}\sqrt{x} = -\frac{5}{2} + 4$
$\frac{3}{2}\sqrt{x} = -\frac{5}{2} + \frac{8}{2}$
$\frac{3}{2}\sqrt{x} = \frac{3}{2}$
$\sqrt{x} = 1$
$x = 1$

Sekarang kita substitusikan nilai $x=1$ ke dalam persamaan kurva untuk mencari nilai $y$ pada titik singgung tersebut.
$y = -4(1) + 1\sqrt{1}$
$y = -4 + 1$
$y = -3$

Jadi, titik singgungnya adalah $(1, -3)$.

Terakhir, kita gunakan rumus persamaan garis lurus dengan gradien $m = -\frac{5}{2}$ yang melalui titik $(1, -3)$.
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - (-3) = -\frac{5}{2}(x - 1)$
$y + 3 = -\frac{5}{2}x + \frac{5}{2}$
$y = -\frac{5}{2}x + \frac{5}{2} - 3$
$y = -\frac{5}{2}x + \frac{5}{2} - \frac{6}{2}$
$y = -\frac{5}{2}x - \frac{1}{2}$

Untuk mendapatkan bentuk standar, kita bisa mengalikan seluruh persamaan dengan 2:
$2y = -5x - 1$
$5x + 2y + 1 = 0$

Jadi, persamaan garis singgung kurva yang sejajar dengan garis $5x+2y+4=0$ adalah $5x + 2y + 1 = 0$.