Persamaan polinomial x^3-5x^2+8x+n=0 mempunyai dua akar

Nilai n adalah -4.

Pembahasan

Misalkan akar-akar dari persamaan polinomial $x^3 - 5x^2 + 8x + n = 0$ adalah $\alpha, \alpha, \beta$. Berdasarkan teorema Vieta:

1. Jumlah akar-akar:
   $\alpha + \alpha + \beta = -(-5)/1$
   $2\alpha + \beta = 5$ (Persamaan 1)

2. Jumlah hasil kali akar-akar yang diambil dua-dua:
   $\alpha \cdot \alpha + \alpha \cdot \beta + \alpha \cdot \beta = 8/1$
   $\alpha^2 + 2\alpha\beta = 8$ (Persamaan 2)

3. Hasil kali akar-akar:
   $\alpha \cdot \alpha \cdot \beta = -n/1$
   $\alpha^2\beta = -n$ (Persamaan 3)

Dari Persamaan 1, kita dapat menyatakan $\beta$ dalam $\alpha$: $\beta = 5 - 2\alpha$.

Substitusikan $\beta$ ke dalam Persamaan 2:
$\alpha^2 + 2\alpha(5 - 2\alpha) = 8$
$\alpha^2 + 10\alpha - 4\alpha^2 = 8$
$-3\alpha^2 + 10\alpha - 8 = 0$
$3\alpha^2 - 10\alpha + 8 = 0$

Faktorkan persamaan kuadrat ini:
$(3\alpha - 4)(\alpha - 2) = 0$

Maka, $\alpha = 4/3$ atau $\alpha = 2$.

Karena akar-akar polinomial tersebut adalah bilangan bulat, maka $\alpha$ haruslah bilangan bulat. Jadi, $\alpha = 2$.

Jika $\alpha = 2$, maka $\beta = 5 - 2(2) = 5 - 4 = 1$.

Kedua akar kembar adalah 2, dan akar lainnya adalah 1. Semua adalah bilangan bulat.

Sekarang, kita cari nilai $n$ menggunakan Persamaan 3:
$n = -\alpha^2\beta$
$n = -(2^2)(1)$
$n = -(4)(1)$
$n = -4$

Jadi, nilai $n$ adalah -4.