Proyeksi ortogonal vektor vektor a=4vektor i+vektor

Proyeksi ortogonalnya adalah \(\frac{9}{7}(2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k})\).

Pembahasan

Proyeksi ortogonal vektor \(\vec{a}\) pada vektor \(\vec{b}\) dihitung menggunakan rumus: \( \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{b}\|} \frac{\vec{b}}{\|\vec{b}\|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{b}\| ^2} \vec{b} \).

Diketahui vektor \(\vec{a} = 4\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}\) dan vektor \(\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}\).

Hitung dot product \(\vec{a} \cdot \vec{b}\): \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (4)(2) + (1)(1) + (3)(3) = 8 + 1 + 9 = 18\).

Hitung kuadrat panjang vektor \(\vec{b}\), \(\|\vec{b}\| ^2\): \(\|\vec{b}\| ^2 = (2)^2 + (1)^2 + (3)^2 = 4 + 1 + 9 = 14\).

Masukkan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus proyeksi:
\( \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{18}{14} \vec{b} = \frac{9}{7} (2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}) \).

Jadi, proyeksi ortogonal vektor \(\vec{a}\) pada vektor \(\vec{b}\) adalah \(\frac{9}{7}(2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k})\) atau \(\frac{18}{7}\hat{i} + \frac{9}{7}\hat{j} + \frac{27}{7}\hat{k}\).