Salah satu persamaan garis singgung lingkaran dengan titik

y = -2x - 14

Pembahasan

Langkah-langkah untuk menemukan persamaan garis singgung:
1. Tentukan gradien garis singgung.
   Garis singgung sejajar dengan y = -2x + 5, sehingga gradiennya (m) adalah -2.
2. Tentukan gradien garis normal.
   Gradien garis normal (m_normal) adalah negatif kebalikan dari gradien garis singgung, yaitu m_normal = -1/m = -1/(-2) = 1/2.
3. Cari titik potong antara garis normal dan lingkaran.
   Persamaan garis normal yang melalui pusat P(-1,-2) dengan gradien 1/2 adalah: y - (-2) = 1/2 (x - (-1)) => y + 2 = 1/2 (x + 1) => 2y + 4 = x + 1 => x = 2y + 3.
4. Substitusikan persamaan garis normal ke dalam persamaan lingkaran.
   Persamaan lingkaran dengan pusat P(-1,-2) dan melalui titik (3,-4) adalah (x - (-1))^2 + (y - (-2))^2 = r^2.
   (3 - (-1))^2 + (-4 - (-2))^2 = r^2
   (4)^2 + (-2)^2 = r^2
   16 + 4 = r^2
   r^2 = 20
   Jadi, persamaan lingkaran adalah (x+1)^2 + (y+2)^2 = 20.
   Substitusikan x = 2y + 3 ke dalam persamaan lingkaran:
   ((2y + 3) + 1)^2 + (y+2)^2 = 20
   (2y + 4)^2 + (y+2)^2 = 20
   4(y + 2)^2 + (y+2)^2 = 20
   5(y + 2)^2 = 20
   (y + 2)^2 = 4
   y + 2 = ±2
   Jika y + 2 = 2, maka y = 0. Maka x = 2(0) + 3 = 3. Titiknya adalah (3,0).
   Jika y + 2 = -2, maka y = -4. Maka x = 2(-4) + 3 = -5. Titiknya adalah (-5,-4).
5. Tentukan persamaan garis singgungnya.
   Garis singgung melalui (3,-4) dan sejajar dengan y = -2x + 5, sehingga gradiennya -2.
   Persamaan garis singgung: y - (-4) = -2(x - 3)
   y + 4 = -2x + 6
   y = -2x + 2
   Untuk titik singgung (-5,-4) dan gradien -2:
   y - (-4) = -2(x - (-5))
   y + 4 = -2(x + 5)
   y + 4 = -2x - 10
   y = -2x - 14
   Namun, soal menyatakan "salah satu persamaan garis singgung". Mari kita periksa kembali titik singgung yang benar. Titik singgung harus berada pada lingkaran dan memiliki gradien garis singgung -2.
   Dari langkah 4, kita menemukan dua titik singgung: (3,0) dan (-5,-4).
   Untuk titik (3,0) dengan gradien -2: y - 0 = -2(x - 3) => y = -2x + 6. Cek apakah titik (3,-4) dilalui garis ini: -4 = -2(3) + 6 => -4 = -6 + 6 => -4 = 0 (Salah).
   Untuk titik (-5,-4) dengan gradien -2: y - (-4) = -2(x - (-5)) => y + 4 = -2(x + 5) => y + 4 = -2x - 10 => y = -2x - 14. Cek apakah titik (3,-4) dilalui garis ini: -4 = -2(3) - 14 => -4 = -6 - 14 => -4 = -20 (Salah).
   Terdapat kekeliruan dalam pemahaman soal atau perhitungan. Soal menyatakan "melalui titik (3,-4)" dan "sejajar dengan garis y=-2x+5". Ini berarti kita mencari garis singgung yang gradiennya -2 dan garis tersebut harus melalui titik (3,-4).
   Persamaan garis dengan gradien -2 yang melalui (3,-4) adalah: y - (-4) = -2(x - 3) => y + 4 = -2x + 6 => y = -2x + 2.
   Sekarang kita perlu memeriksa apakah garis y = -2x + 2 ini merupakan garis singgung lingkaran dengan pusat P(-1,-2) dan melalui (3,-4). Jari-jari lingkaran adalah akar dari (3 - (-1))^2 + (-4 - (-2))^2 = 4^2 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20, jadi persamaan lingkaran adalah (x+1)^2 + (y+2)^2 = 20.
   Untuk menentukan apakah y = -2x + 2 adalah garis singgung, kita substitusikan y ke dalam persamaan lingkaran:
   (x+1)^2 + ((-2x + 2)+2)^2 = 20
   (x+1)^2 + (-2x + 4)^2 = 20
   (x^2 + 2x + 1) + (4x^2 - 16x + 16) = 20
   5x^2 - 14x + 17 = 20
   5x^2 - 14x - 3 = 0
   Diskriminan (D) = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4(5)(-3) = 196 + 60 = 256.
   Karena diskriminan positif (D > 0), garis ini memotong lingkaran di dua titik, bukan menyinggungnya.
   Ada kemungkinan soal bermaksud mencari garis singgung pada lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran. Namun, karena soal secara eksplisit menyebutkan "melalui titik (3,-4)" dan meminta "salah satu persamaan garis singgung", kita harus berasumsi bahwa ada garis singgung yang memenuhi kriteria tersebut.
   Mari kita cari titik singgung pada lingkaran yang gradiennya -2.
   Persamaan lingkaran: (x+1)^2 + (y+2)^2 = 20.
   Turunkan secara implisit terhadap x: 2(x+1) + 2(y+2) dy/dx = 0.
   dy/dx = -(x+1) / (y+2).
   Kita ingin dy/dx = -2.
   -(x+1) / (y+2) = -2
   x+1 = 2(y+2)
   x+1 = 2y+4
   x = 2y+3.
   Substitusikan x = 2y+3 ke dalam persamaan lingkaran:
   ((2y+3)+1)^2 + (y+2)^2 = 20
   (2y+4)^2 + (y+2)^2 = 20
   4(y+2)^2 + (y+2)^2 = 20
   5(y+2)^2 = 20
   (y+2)^2 = 4
   y+2 = ±2.
   Jika y+2 = 2, y = 0. Maka x = 2(0)+3 = 3. Titik singgungnya adalah (3,0).
   Jika y+2 = -2, y = -4. Maka x = 2(-4)+3 = -5. Titik singgungnya adalah (-5,-4).
   Sekarang kita cari persamaan garis singgung pada titik-titik ini dengan gradien -2.
   Untuk titik (3,0): y - 0 = -2(x - 3) => y = -2x + 6.
   Untuk titik (-5,-4): y - (-4) = -2(x - (-5)) => y + 4 = -2(x + 5) => y + 4 = -2x - 10 => y = -2x - 14.
   Soal menyatakan garis singgung melalui titik (3,-4). Titik (-5,-4) berada pada garis y = -2x - 14. Jadi, y = -2x - 14 adalah salah satu persamaan garis singgungnya.
   Mari kita periksa lagi soalnya. "melalui titik (3,-4)" dan "sejajar dengan garis y=-2x+5". Ini berarti gradien garis singgungnya adalah -2. Kita mencari persamaan garis singgung yang memiliki gradien -2 dan melalui titik (3,-4).
   Persamaan garis singgungnya adalah y - (-4) = -2(x - 3) => y + 4 = -2x + 6 => y = -2x + 2.
   Sekarang kita perlu memastikan bahwa garis ini menyinggung lingkaran yang berpusat di P(-1,-2) dan melalui (3,-4). Jari-jari lingkaran kuadrat (r^2) adalah jarak dari P ke (3,-4), yaitu (3 - (-1))^2 + (-4 - (-2))^2 = 4^2 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20.
   Persamaan lingkaran adalah (x+1)^2 + (y+2)^2 = 20.
   Jarak dari pusat P(-1,-2) ke garis y = -2x + 2 (atau 2x + y - 2 = 0) harus sama dengan jari-jari lingkaran (√20).
   Jarak = |A*x0 + B*y0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)
   Jarak = |2*(-1) + 1*(-2) - 2| / sqrt(2^2 + 1^2)
   Jarak = |-2 - 2 - 2| / sqrt(4 + 1)
   Jarak = |-6| / sqrt(5) = 6 / sqrt(5).
   Karena 6/sqrt(5) ≠ √20, maka garis y = -2x + 2 bukan garis singgungnya.
   Ada kemungkinan soal ini memiliki kesalahan penulisan atau konsep. Namun, jika kita mengikuti logika mencari garis singgung dengan gradien tertentu yang melalui titik tertentu, dan titik tersebut sebenarnya adalah titik singgungnya, maka persamaan yang paling mendekati adalah yang berasal dari titik singgung yang ditemukan.
   Titik singgung (-5,-4) menghasilkan garis singgung y = -2x - 14. Garis ini sejajar dengan y = -2x + 5 (gradien -2). Mari kita cek apakah titik (3,-4) ada pada lingkaran ini. Jari-jari kuadrat dari pusat P(-1,-2) ke titik (-5,-4) adalah (-5 - (-1))^2 + (-4 - (-2))^2 = (-4)^2 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20. Jadi persamaan lingkarannya adalah (x+1)^2 + (y+2)^2 = 20. Titik (3,-4) memang pada lingkaran ini karena (3+1)^2 + (-4+2)^2 = 4^2 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20. Jadi, titik (-5,-4) adalah salah satu titik singgungnya, dan persamaan garis singgungnya adalah y = -2x - 14. Soal meminta "salah satu persamaan garis singgung".