Titik P berada di tengah-tengah rusuk BC dan titik Q berada

a. PG = (a * sqrt(5)) / 2 b. PQ = (a * sqrt(6)) / 2 c. sin a = sqrt(6) / 3

Pembahasan

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm.
P adalah titik tengah rusuk BC.
Q adalah titik tengah rusuk GH.
R adalah proyeksi Q pada bidang ABCD.

Kita dapat menggunakan sistem koordinat untuk menyelesaikan masalah ini. Misalkan:
A = (0, 0, 0)
B = (a, 0, 0)
C = (a, a, 0)
D = (0, a, 0)
E = (0, 0, a)
F = (a, 0, a)
G = (a, a, a)
H = (0, a, a)

P adalah titik tengah BC, maka P = ((a+a)/2, (0+a)/2, 0) = (a, a/2, 0)
Q adalah titik tengah GH, maka Q = ((a+0)/2, (a+a)/2, a) = (a/2, a, a)
R adalah proyeksi Q pada bidang ABCD (bidang z=0), maka R = (a/2, a, 0)

a. Panjang PG
   G = (a, a, a)
   P = (a, a/2, 0)
   PG = sqrt((a - a)^2 + (a - a/2)^2 + (a - 0)^2)
   PG = sqrt(0^2 + (a/2)^2 + a^2)
   PG = sqrt(a^2/4 + a^2)
   PG = sqrt(5a^2/4)
   PG = (a * sqrt(5)) / 2

b. Panjang PQ
   P = (a, a/2, 0)
   Q = (a/2, a, a)
   PQ = sqrt((a/2 - a)^2 + (a - a/2)^2 + (a - 0)^2)
   PQ = sqrt((-a/2)^2 + (a/2)^2 + a^2)
   PQ = sqrt(a^2/4 + a^2/4 + a^2)
   PQ = sqrt(a^2/2 + a^2)
   PQ = sqrt(3a^2/2)
   PQ = a * sqrt(3/2) = (a * sqrt(6)) / 2

c. Sinus sudut antara PQ dengan bidang ABCD (alpha)
   Sudut antara garis PQ dengan bidang ABCD adalah sudut antara PQ dengan proyeksinya pada bidang ABCD, yaitu QR.
   Proyeksi PQ pada bidang ABCD adalah garis PR.
   P = (a, a/2, 0)
   R = (a/2, a, 0)
   PR = sqrt((a/2 - a)^2 + (a - a/2)^2 + (0 - 0)^2)
   PR = sqrt((-a/2)^2 + (a/2)^2 + 0^2)
   PR = sqrt(a^2/4 + a^2/4)
   PR = sqrt(a^2/2)
   PR = a / sqrt(2) = (a * sqrt(2)) / 2

   Kita punya segitiga siku-siku PQR, dengan siku-siku di R.
   PQ adalah sisi miring.
   QR adalah sisi tegak lurus bidang ABCD (karena Q proyeksi R pada bidang ABCD), namun R adalah proyeksi Q pada ABCD, jadi QR tegak lurus bidang ABCD.
   Panjang QR adalah perbedaan koordinat z dari Q dan R, yaitu a - 0 = a.
   QR = a
   PR adalah proyeksi PQ pada bidang ABCD.

   Sinus sudut alpha adalah perbandingan sisi depan sudut (QR) dengan sisi miring (PQ).
   sin alpha = QR / PQ
   sin alpha = a / ((a * sqrt(6)) / 2)
   sin alpha = a * (2 / (a * sqrt(6)))
   sin alpha = 2 / sqrt(6)
   sin alpha = (2 * sqrt(6)) / 6
   sin alpha = sqrt(6) / 3