Sebuah bola dijatuhkan vertikal dari ketinggian 9 m,

45 m

Pembahasan

Ini adalah masalah deret geometri tak hingga. Bola memantul secara berulang-ulang hingga berhenti.

Jarak lintasan bola dapat dihitung sebagai jumlah dari jarak jatuh awal, dan jumlah dari jarak pantulan naik dan turun.

Jarak jatuh awal = 9 m.

Pantulan pertama:
Naik = 6 m
Turun = 6 m
Total pantulan pertama = 6 + 6 = 12 m.

Pantulan kedua:
Setelah pantulan pertama (turun 6 m), bola memantul lagi 4 m. Jadi, jarak pantulan kedua adalah 4 m naik dan 4 m turun.
Total pantulan kedua = 4 + 4 = 8 m.

Pantulan ketiga:
Setelah pantulan kedua (turun 4 m), bola memantul lagi 8/3 m. Jadi, jarak pantulan ketiga adalah 8/3 m naik dan 8/3 m turun.
Total pantulan ketiga = 8/3 + 8/3 = 16/3 m.

Perhatikan pola jarak pantulan naik atau turun:
6 m, 4 m, 8/3 m, ...

Ini adalah deret geometri dengan:
Suku pertama ($a$) = 6
Rasio ($r$) = $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Atau rasio = $\frac{8/3}{4} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$

Karena nilai rasio $|r| < 1$ ($\frac{2}{3} < 1$), maka deret ini konvergen dan memiliki jumlah hingga tak hingga.

Jumlah deret geometri tak hingga ($S_{\infty}$) dihitung dengan rumus: $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$

Jumlah total jarak pantulan naik (atau turun) adalah:
$S_{pantulan} = \frac{6}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{6}{\frac{1}{3}} = 6 \times 3 = 18$ m.

Namun, jarak lintasan yang ditempuh bola adalah jumlah dari jarak jatuh awal ditambah dengan jumlah total jarak naik dan turun dari semua pantulan.

Jarak total = Jarak jatuh awal + (Jumlah jarak naik + Jumlah jarak turun)

Karena setiap pantulan memiliki jarak naik yang sama dengan jarak turunnya, maka:
Jumlah jarak naik = 18 m
Jumlah jarak turun = 18 m

Jadi, jumlah total jarak pantulan (naik dan turun) adalah 18 m + 18 m = 36 m.

Namun, cara yang lebih tepat adalah menjumlahkan setiap pantulan (naik dan turun) secara terpisah.

Jarak total = Jarak jatuh awal + (2 × Jarak pantulan naik pertama) + (2 × Jarak pantulan naik kedua) + ...
Jarak total = 9 + (2 × 6) + (2 × 4) + (2 × 8/3) + ...
Jarak total = 9 + 2 × (6 + 4 + 8/3 + ...)

Jumlah deret pantulan naik (6 + 4 + 8/3 + ...) adalah deret geometri tak hingga dengan $a=6$ dan $r=2/3$. Jumlahnya adalah $S_{pantulan} = \frac{6}{1 - 2/3} = \frac{6}{1/3} = 18$ m.

Jadi, Jarak total = 9 + 2 × 18
Jarak total = 9 + 36
Jarak total = 45 m.

Cara lain melihatnya:
Jarak jatuh awal = 9 m.
Jarak naik pertama = 6 m.
Jarak turun setelah pantulan pertama = 6 m.
Jarak naik kedua = 4 m.
Jarak turun setelah pantulan kedua = 4 m.
Jarak naik ketiga = 8/3 m.
Jarak turun setelah pantulan ketiga = 8/3 m.
Dan seterusnya.

Total Jarak = 9 + (6+6) + (4+4) + (8/3+8/3) + ...
Total Jarak = 9 + 2(6) + 2(4) + 2(8/3) + ...
Total Jarak = 9 + 2(6 + 4 + 8/3 + ...)

Deret $6 + 4 + 8/3 + ...$ adalah deret geometri tak hingga dengan suku pertama $a=6$ dan rasio $r = 4/6 = 2/3$. Jumlahnya adalah $\frac{a}{1-r} = \frac{6}{1 - 2/3} = \frac{6}{1/3} = 18$.

Jadi, Total Jarak = 9 + 2(18) = 9 + 36 = 45 meter.

Jadi, jarak lintasan yang ditempuh bola tersebut sampai berhenti adalah 45 meter.