Sebuah elips dengan persamaan x^2/9+y^2/4=1 digeser sejauh

(x - 1)²/4 + (y - 2)²/9 = 1

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan bayangan elips setelah translasi dan rotasi, kita perlu melakukan kedua transformasi tersebut secara berurutan.

1. **Translasi:**
Persamaan elips awal adalah x²/9 + y²/4 = 1.
Elips digeser sejauh (-1, 2). Ini berarti setiap titik (x, y) pada elips asli dipetakan ke titik (x', y') sedemikian rupa sehingga x' = x - 1 dan y' = y + 2. Atau, x = x' + 1 dan y = y' - 2.
Substitusikan nilai x dan y ke dalam persamaan elips asli:
((x' + 1)²)/9 + ((y' - 2)²)/4 = 1
Ini adalah persamaan elips setelah translasi.

2. **Rotasi:**
Elips yang telah ditranslasi kemudian dirotasi sebesar 90 derajat mengelilingi titik P(-1, 2). Rotasi sebesar 90 derajat berlawanan arah jarum jam dengan pusat rotasi (a, b) memetakan titik (x, y) ke (x'', y'') dengan rumus:
x'' - a = -(y - b)
y'' - b = x - a
Dalam kasus ini, pusat rotasi adalah P(-1, 2), jadi a = -1 dan b = 2.
Titik yang akan dirotasi adalah (x', y') dari hasil translasi.
Jadi, substitusikan (x', y') ke dalam rumus rotasi:
x'' - (-1) = -((y' - 2) - 2)
y'' - 2 = (x' + 1)

x'' + 1 = -(y' - 4)
y'' - 2 = x' + 1

x'' = -y' + 4 - 1  => x'' = -y' + 3
y'' = x' + 1 + 2  => y'' = x' + 3

Dari sini, kita dapat mengekspresikan x' dan y' dalam bentuk x'' dan y'':
x' = y'' - 3
y' = -x'' + 3

Sekarang, substitusikan kembali ekspresi x' dan y' ini ke dalam persamaan elips setelah translasi:
(( (y'' - 3) + 1 )²)/9 + (( (-x'' + 3) - 2 )²)/4 = 1
((y'' - 2)²)/9 + ((-x'' + 1)²)/4 = 1
((y'' - 2)²)/9 + ((x'' - 1)²)/4 = 1

Dengan mengganti (x'', y'') menjadi (x, y) untuk notasi standar, persamaan bayangan elips adalah:
(x - 1)²/4 + (y - 2)²/9 = 1