Sebuah fungsi kuadrat f(x) = x^2 + bx + c dengan koefisien

Ada 17 pasangan $b$ dan $c$ agar grafik fungsi $f(x)$ memotong sumbu-X di dua titik berbeda.

Pembahasan

Sebuah fungsi kuadrat $f(x) = x^2 + bx + c$ memotong sumbu-X di dua titik berbeda jika diskriminannya positif, yaitu $D > 0$.

Diskriminan untuk fungsi kuadrat $ax^2 + bx + c$ adalah $D = b^2 - 4ac$.
Dalam kasus ini, $a = 1$, sehingga $D = b^2 - 4(1)c = b^2 - 4c$.

Kita perlu mencari banyaknya pasangan $(b, c)$ dari himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6} sehingga $b^2 - 4c > 0$, atau $b^2 > 4c$.

Mari kita uji setiap kemungkinan nilai $b$ dari 1 hingga 6:

- Jika $b = 1$: $1^2 > 4c 
ightarrow 1 > 4c$. Tidak ada nilai $c$ dari himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6} yang memenuhi.
- Jika $b = 2$: $2^2 > 4c 
ightarrow 4 > 4c$. Tidak ada nilai $c$ dari himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6} yang memenuhi.
- Jika $b = 3$: $3^2 > 4c 
ightarrow 9 > 4c$. Nilai $c$ yang memenuhi adalah $c=1$ (karena $9 > 4$) dan $c=2$ (karena $9 > 8$). Ada 2 pasangan: (3, 1), (3, 2).
- Jika $b = 4$: $4^2 > 4c 
ightarrow 16 > 4c$. Nilai $c$ yang memenuhi adalah $c=1, 2, 3$ (karena $16 > 4, 16 > 8, 16 > 12$). Ada 3 pasangan: (4, 1), (4, 2), (4, 3).
- Jika $b = 5$: $5^2 > 4c 
ightarrow 25 > 4c$. Nilai $c$ yang memenuhi adalah $c=1, 2, 3, 4, 5, 6$ (karena $25 > 4, 25 > 8, 25 > 12, 25 > 16, 25 > 20, 25 > 24$). Ada 6 pasangan: (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6).
- Jika $b = 6$: $6^2 > 4c 
ightarrow 36 > 4c$. Nilai $c$ yang memenuhi adalah $c=1, 2, 3, 4, 5, 6$ (karena $36 > 4, 36 > 8, 36 > 12, 36 > 16, 36 > 20, 36 > 24$). Ada 6 pasangan: (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6).

Total banyaknya pasangan $(b, c)$ adalah jumlah pasangan dari setiap kasus:
$0 + 0 + 2 + 3 + 6 + 6 = 17$.

Jadi, banyaknya pasangan $b$ dan $c$ agar grafik fungsi $f(x)$ memotong sumbu-X di dua titik berbeda adalah 17.