Sederhanakanlah. (x + y + z) . (x + y + z) . (x + y + z)

(x + y + z)^3

Pembahasan

Untuk menyederhanakan ekspresi (x + y + z) . (x + y + z) . (x + y + z), kita dapat mengalikan ketiga binomial tersebut. Ekspresi ini sama dengan (x + y + z) kuadrat dikalikan dengan (x + y + z) lagi.

Pertama, kita kuadratkan (x + y + z):
(x + y + z)^2 = (x + y + z)(x + y + z)
= x(x + y + z) + y(x + y + z) + z(x + y + z)
= (x^2 + xy + xz) + (yx + y^2 + yz) + (zx + zy + z^2)
= x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz

Sekarang, kita kalikan hasil ini dengan (x + y + z):
(x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz)(x + y + z)

Kita bisa memisahkan perkalian ini menjadi:
1. x * (x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz)
2. y * (x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz)
3. z * (x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz)

1. x^3 + xy^2 + xz^2 + 2x^2y + 2x^2z + 2xyz
2. yx^2 + y^3 + yz^2 + 2xy^2 + 2xyz + 2y^2z
3. zx^2 + zy^2 + z^3 + 2xyz + 2xz^2 + 2yz^2

Sekarang, kita jumlahkan semua suku dan gabungkan suku-suku yang sejenis:
= x^3 + y^3 + z^3
+ (xy^2 + 2xy^2) + (xz^2 + 2xz^2) + (yx^2 + 2yx^2)
+ (yz^2 + 2yz^2) + (zx^2 + 2zx^2) + (zy^2 + 2zy^2)
+ (2xyz + 2xyz + 2xyz)

= x^3 + y^3 + z^3
+ 3xy^2 + 3xz^2 + 3x^2y
+ 3yz^2 + 3x^2z + 3y^2z
+ 6xyz

Perhatikan bahwa (x+y+z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3(x+y)(x+z)(y+z) atau x^3 + y^3 + z^3 + 3x^2y + 3xy^2 + 3x^2z + 3xz^2 + 3y^2z + 3yz^2 + 6xyz.

Menyusun ulang suku-suku tersebut:
= x^3 + y^3 + z^3 + 3x^2y + 3xy^2 + 3x^2z + 3xz^2 + 3y^2z + 3yz^2 + 6xyz

Jadi, hasil penyederhanaannya adalah x^3 + y^3 + z^3 + 3x^2y + 3xy^2 + 3x^2z + 3xz^2 + 3y^2z + 3yz^2 + 6xyz.