Selembar baja berukuran 8 dm x 5 dm digunakan untuk membuat

Panjang 6 dm, Lebar 3 dm, Tinggi 1 dm

Pembahasan

Untuk mendapatkan volume maksimum, kita perlu menggunakan konsep turunan. Misalkan panjang sisi potongan yang sama panjang adalah x. Maka, dimensi kotak yang akan dibuat adalah:
Panjang = 8 dm - 2x
Lebar = 5 dm - 2x
Tinggi = x
Volume (V) kotak adalah hasil perkalian panjang, lebar, dan tinggi: V(x) = (8 - 2x)(5 - 2x)x
V(x) = (40 - 16x - 10x + 4x²)x
V(x) = (4x² - 26x + 40)x
V(x) = 4x³ - 26x² + 40x
Untuk mencari volume maksimum, kita cari turunan pertama V(x) terhadap x dan menyamakannya dengan nol:
V'(x) = 12x² - 52x + 40
Samakan V'(x) = 0:
12x² - 52x + 40 = 0
Bagi dengan 4:
3x² - 13x + 10 = 0
Kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini atau menggunakan rumus kuadrat. Memfaktorkan:
(3x - 10)(x - 1) = 0
Jadi, solusi yang mungkin adalah x = 10/3 atau x = 1.
Kita perlu memeriksa apakah nilai-nilai x ini valid. Panjang dan lebar harus positif, jadi:
8 - 2x > 0  => 2x < 8 => x < 4
5 - 2x > 0  => 2x < 5 => x < 2.5
Karena itu, x harus lebih kecil dari 2.5. Maka, x = 10/3 (sekitar 3.33) tidak valid. Satu-satunya nilai x yang valid adalah x = 1.
Untuk memastikan ini adalah maksimum, kita bisa menggunakan turunan kedua:
V''(x) = 24x - 52
V''(1) = 24(1) - 52 = -28. Karena V''(1) negatif, maka x=1 memberikan volume maksimum.
Dengan x = 1 dm, ukuran kotak adalah:
Panjang = 8 - 2(1) = 6 dm
Lebar = 5 - 2(1) = 3 dm
Tinggi = 1 dm
Volume maksimum = 6 dm * 3 dm * 1 dm = 18 dm³.