Semua nilai a agar akar(2 x^(2)-x+14) >= akar(x^(2)-a x+10)

$-3 \le a \le 5$

Pembahasan

Kita diminta mencari nilai $a$ agar $\\sqrt{2x^2 - x + 14} \ge \sqrt{x^2 - ax + 10}$ benar untuk semua bilangan real $x$. Agar kedua akar kuadrat terdefinisi, ekspresi di bawah akar harus non-negatif. Namun, karena kita membandingkan dua akar kuadrat, kita dapat mengkuadratkan kedua sisi.

Dengan mengkuadratkan kedua sisi, kita mendapatkan:
$2x^2 - x + 14 \ge x^2 - ax + 10$

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk pertidaksamaan kuadrat:
$2x^2 - x^2 - x + ax + 14 - 10 \ge 0$
$x^2 + (a-1)x + 4 \ge 0$

Agar pertidaksamaan kuadrat $Ax^2 + Bx + C \ge 0$ berlaku untuk semua bilangan real $x$, dua kondisi harus dipenuhi:
1.  Koefisien dari $x^2$ (yaitu $A$) harus positif.
2.  Diskriminan ($D = B^2 - 4AC$) harus kurang dari atau sama dengan nol ($D \le 0$).

Dalam kasus kita, $A=1$, $B=(a-1)$, dan $C=4$.

Kondisi 1: Koefisien $x^2$ adalah 1, yang sudah positif ($1 > 0$). Jadi, kondisi ini terpenuhi.

Kondisi 2: Diskriminan harus $\le 0$.
$D = (a-1)^2 - 4(1)(4) \le 0$
$(a-1)^2 - 16 \le 0$

Ini adalah pertidaksamaan kuadrat dalam $a$. Kita bisa memfaktorkannya atau menyelesaikannya dengan mencari akar-akarnya:
$(a-1)^2 \le 16$
Ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
$|a-1| \le 4$

Ini berarti:
$-4 \le a-1 \le 4$

Tambahkan 1 ke semua bagian pertidaksamaan:
$-4 + 1 \le a \le 4 + 1$
$-3 \le a \le 5$

Jadi, semua nilai $a$ agar pertidaksamaan tersebut benar untuk semua bilangan real $x$ adalah $-3 \le a \le 5$.