Semua nilai x yang memenuhi 4^(2x^2+3x-5)<164 adalah ....

Nilai x yang memenuhi adalah ((-3 - sqrt(113)) / 4) < x < ((-3 + sqrt(113)) / 4).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponensial 4^(2x^2+3x-5) < 16^4, kita perlu menyamakan basisnya terlebih dahulu.

Kita tahu bahwa 16 dapat ditulis sebagai 4^2.
Jadi, 16^4 = (4^2)^4 = 4^(2*4) = 4^8.

Pertidaksamaan menjadi:
4^(2x^2+3x-5) < 4^8

Karena basisnya (4) lebih besar dari 1, maka kita dapat menyamakan eksponennya dengan mempertahankan arah pertidaksamaan:

2x^2 + 3x - 5 < 8

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk pertidaksamaan kuadrat:

2x^2 + 3x - 5 - 8 < 0

2x^2 + 3x - 13 < 0

Sekarang, kita perlu mencari akar-akar dari persamaan kuadrat 2x^2 + 3x - 13 = 0 menggunakan rumus kuadratik: x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a

Di sini, a = 2, b = 3, dan c = -13.

x = [-3 ± sqrt(3^2 - 4 * 2 * (-13))] / (2 * 2)
x = [-3 ± sqrt(9 + 104)] / 4
x = [-3 ± sqrt(113)] / 4

Akar-akarnya adalah:
x1 = (-3 - sqrt(113)) / 4 ≈ (-3 - 10.63) / 4 ≈ -13.63 / 4 ≈ -3.4075
x2 = (-3 + sqrt(113)) / 4 ≈ (-3 + 10.63) / 4 ≈ 7.63 / 4 ≈ 1.9075

Karena pertidaksamaan adalah 2x^2 + 3x - 13 < 0, kita mencari nilai x di mana parabola terbuka ke atas (karena koefisien x^2 positif) berada di bawah sumbu x. Ini terjadi di antara akar-akarnya.

Jadi, solusi dari pertidaksamaan ini adalah -3.4075 < x < 1.9075.

Atau, dalam bentuk akar:
((-3 - sqrt(113)) / 4) < x < ((-3 + sqrt(113)) / 4)