tan x/2=(1-cos x)/sin x=sin x/(1+cos x)

Identitas trigonometri tan x/2 = (1-cos x)/sin x = sin x/(1+cos x) dibuktikan menggunakan identitas sudut ganda dan identitas Pythagoras. Sisi kiri diubah menjadi tan x/2, dan kesamaan antara dua bentuk lainnya ditunjukkan dengan manipulasi aljabar yang melibatkan konjugat.

Pembahasan

Persamaan yang diberikan adalah identitas trigonometri yang menghubungkan fungsi tangen dengan kosinus dan sinus. Mari kita buktikan kedua kesamaan tersebut:

**1. Bukti tan(x/2) = (1 - cos x) / sin x:**
Kita tahu bahwa cos x dapat diekspresikan sebagai cos(2 * (x/2)) = 1 - 2sin^2(x/2) dan sin x = 2sin(x/2)cos(x/2).

Dari identitas cos x = 1 - 2sin^2(x/2), kita dapat mengatur ulang menjadi 2sin^2(x/2) = 1 - cos x.

Sekarang, substitusikan ekspresi untuk 1 - cos x dan sin x ke dalam sisi kanan persamaan:
(1 - cos x) / sin x = (2sin^2(x/2)) / (2sin(x/2)cos(x/2))

Dengan membatalkan 2sin(x/2) di pembilang dan penyebut, kita mendapatkan:
sin(x/2) / cos(x/2)

Yang mana sama dengan tan(x/2).

Jadi, terbukti bahwa tan(x/2) = (1 - cos x) / sin x.

**2. Bukti (1 - cos x) / sin x = sin x / (1 + cos x):**
Kita akan membuktikan kesamaan ini dengan memulai dari sisi kiri dan mengubahnya menjadi sisi kanan.

Mulai dengan (1 - cos x) / sin x.
Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari pembilang, yaitu (1 + cos x):
[(1 - cos x) * (1 + cos x)] / [sin x * (1 + cos x)]

Di pembilang, kita menggunakan identitas (a - b)(a + b) = a^2 - b^2:
(1 - cos^2 x) / [sin x * (1 + cos x)]

Kita tahu dari identitas Pythagoras bahwa sin^2 x + cos^2 x = 1, sehingga 1 - cos^2 x = sin^2 x.
Substitusikan ini ke dalam persamaan:
sin^2 x / [sin x * (1 + cos x)]

Dengan membatalkan satu faktor sin x dari pembilang dan penyebut, kita mendapatkan:
sin x / (1 + cos x)

Jadi, terbukti bahwa (1 - cos x) / sin x = sin x / (1 + cos x).

Kedua identitas tersebut merupakan bentuk lain dari rumus sudut paruh untuk tangen.