Tantangan. Tentukan nilai a dan b agar grafik fungsi linear

Nilai a = 2 dan b = -7.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai a dan b agar grafik fungsi linear y=ax+b memotong grafik fungsi kuadrat y=x^2-4x+2 tepat pada satu titik koordinat (3,-1), kita perlu memahami konsep kesetaraan dan substitusi.

Karena titik (3,-1) berada pada kedua grafik, maka titik ini harus memenuhi kedua persamaan tersebut.

1. Substitusikan titik (3,-1) ke dalam persamaan fungsi kuadrat:
   y = x^2 - 4x + 2
   -1 = (3)^2 - 4(3) + 2
   -1 = 9 - 12 + 2
   -1 = -3 + 2
   -1 = -1
   Ini menunjukkan bahwa titik (3,-1) memang berada pada grafik fungsi kuadrat.

2. Substitusikan titik (3,-1) ke dalam persamaan fungsi linear:
   y = ax + b
   -1 = a(3) + b
   -1 = 3a + b  (Persamaan 1)

Agar kedua grafik berpotongan tepat pada satu titik, maka pada titik perpotongan tersebut, kedua fungsi harus memiliki nilai y yang sama. Ini berarti kita dapat menyamakan kedua persamaan:
   ax + b = x^2 - 4x + 2

Karena kita tahu bahwa perpotongan terjadi di x=3, kita bisa substitusikan x=3 ke dalam persamaan ini:
   a(3) + b = (3)^2 - 4(3) + 2
   3a + b = 9 - 12 + 2
   3a + b = -1
   Ini adalah Persamaan 1 yang sudah kita dapatkan sebelumnya.

Selain itu, agar hanya ada satu titik potong, persamaan kuadrat yang terbentuk dari penyamaan kedua fungsi (setelah substitusi titik potong) harus memiliki diskriminan (D) sama dengan nol. Mari kita susun ulang persamaan:
   x^2 - 4x + 2 = ax + b
   x^2 - 4x - ax + 2 - b = 0
   x^2 + (-4-a)x + (2-b) = 0

Diskriminan (D) dari persamaan kuadrat Ax^2 + Bx + C = 0 adalah D = B^2 - 4AC.
Dalam kasus ini, A=1, B=(-4-a), dan C=(2-b).
Agar tepat satu titik potong, D=0:
   (-4-a)^2 - 4(1)(2-b) = 0
   (16 + 8a + a^2) - 8 + 4b = 0
   a^2 + 8a + 4b + 8 = 0  (Persamaan 2)

Sekarang kita memiliki sistem dua persamaan dengan dua variabel a dan b:
Persamaan 1: -1 = 3a + b  => b = -1 - 3a
Persamaan 2: a^2 + 8a + 4b + 8 = 0

Substitusikan nilai b dari Persamaan 1 ke Persamaan 2:
   a^2 + 8a + 4(-1 - 3a) + 8 = 0
   a^2 + 8a - 4 - 12a + 8 = 0
   a^2 - 4a + 4 = 0

Ini adalah persamaan kuadrat dalam variabel a. Kita bisa memfaktorkannya:
   (a - 2)(a - 2) = 0
   (a - 2)^2 = 0

Jadi, nilai a adalah:
   a = 2

Sekarang, substitusikan nilai a=2 kembali ke Persamaan 1 untuk mencari nilai b:
   b = -1 - 3a
   b = -1 - 3(2)
   b = -1 - 6
   b = -7

Jadi, nilai a adalah 2 dan nilai b adalah -7.

Fungsi linear tersebut adalah y = 2x - 7.