Tentukan akar-akar rasional bulat pada persamaan berikut.

Akar-akar rasional bulatnya adalah -1 dan -3.

Pembahasan

Untuk menentukan akar-akar rasional bulat dari persamaan polinomial 2y³ + 7y² + 2y - 3 = 0, kita dapat menggunakan Teorema Akar Rasional. Teorema ini menyatakan bahwa jika sebuah polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap akar rasionalnya dapat ditulis dalam bentuk p/q, di mana p adalah faktor dari konstanta (dalam hal ini -3) dan q adalah faktor dari koefisien utama (dalam hal ini 2).

Faktor dari konstanta -3 (p) adalah: ±1, ±3.
Faktor dari koefisien utama 2 (q) adalah: ±1, ±2.

Kemungkinan akar rasional (p/q) adalah: ±1/1, ±3/1, ±1/2, ±3/2.
Jadi, kemungkinannya adalah: ±1, ±3, ±1/2, ±3/2.

Sekarang kita substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan untuk melihat mana yang menghasilkan 0:

Untuk y = 1: 2(1)³ + 7(1)² + 2(1) - 3 = 2 + 7 + 2 - 3 = 8 ≠ 0
Untuk y = -1: 2(-1)³ + 7(-1)² + 2(-1) - 3 = -2 + 7 - 2 - 3 = 0. Jadi, y = -1 adalah salah satu akar rasional.

Karena y = -1 adalah akar, maka (y + 1) adalah faktor dari polinomial. Kita dapat melakukan pembagian polinomial atau sintetik untuk menemukan faktor lainnya.

Menggunakan pembagian sintetik dengan -1:
-1 | 2   7   2   -3
   |    -2  -5    3
   ----------------
     2   5  -3    0

Hasil pembagiannya adalah 2y² + 5y - 3. Sekarang kita cari akar dari persamaan kuadrat ini:
2y² + 5y - 3 = 0
Kita bisa memfaktorkannya:
(2y - 1)(y + 3) = 0

Dari sini, kita dapatkan:
2y - 1 = 0  => 2y = 1 => y = 1/2
y + 3 = 0   => y = -3

Jadi, akar-akar rasional bulat dari persamaan 2y³ + 7y² + 2y - 3 = 0 adalah -1 dan -3. (Perhatikan bahwa 1/2 adalah akar rasional, tetapi bukan bilangan bulat).