Tentukan antiturunan dari:f(x)=1/2 x^5+2/3 x^2-8

$F(x) = \frac{1}{12}x^6 + \frac{2}{9}x^3 - 8x + C$

Pembahasan

Untuk menentukan antiturunan dari fungsi $f(x) = rac{1}{2}x^5 + rac{2}{3}x^2 - 8$, kita perlu mengintegralkan fungsi tersebut. Antiturunan (atau integral tak tentu) dari $f(x)$ adalah $F(x)$ sedemikian rupa sehingga $F'(x) = f(x)$.

Kita akan menggunakan aturan dasar integral tak tentu:
$\
int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (untuk $n \neq -1$)
$\
int c f(x) dx = c \
int f(x) dx$
$\
int (f(x) \
pm g(x)) dx = \
int f(x) dx \
pm \
int g(x) dx$

Mari kita integralkan setiap suku dari $f(x)$ secara terpisah:

1.  **Antiturunan dari $\rac{1}{2}x^5$:**
    $\
int \frac{1}{2}x^5 dx = \frac{1}{2} \
int x^5 dx$
    Menggunakan aturan pangkat dengan $n=5$:
    $= \frac{1}{2} 	imes \frac{x^{5+1}}{5+1} + C_1$
    $= \frac{1}{2} 	imes \frac{x^6}{6} + C_1$
    $= \frac{1}{12}x^6 + C_1$

2.  **Antiturunan dari $\rac{2}{3}x^2$:**
    $\
int \frac{2}{3}x^2 dx = \frac{2}{3} \
int x^2 dx$
    Menggunakan aturan pangkat dengan $n=2$:
    $= \frac{2}{3} 	imes \frac{x^{2+1}}{2+1} + C_2$
    $= \frac{2}{3} 	imes \frac{x^3}{3} + C_2$
    $= \frac{2}{9}x^3 + C_2$

3.  **Antiturunan dari $-8$:**
    Antiturunan dari konstanta $k$ adalah $kx$.
    $\
int -8 dx = -8x + C_3$

Sekarang, kita jumlahkan hasil antiturunan dari setiap suku untuk mendapatkan antiturunan total dari $f(x)$:
$F(x) = \
int f(x) dx = \
int (\frac{1}{2}x^5 + \frac{2}{3}x^2 - 8) dx$
$F(x) = \
int \frac{1}{2}x^5 dx + \
int \frac{2}{3}x^2 dx - \
int 8 dx$
$F(x) = (\frac{1}{12}x^6 + C_1) + (\frac{2}{9}x^3 + C_2) - (8x + C_3)$
$F(x) = \frac{1}{12}x^6 + \frac{2}{9}x^3 - 8x + (C_1 + C_2 - C_3)$

Karena $C_1, C_2,$ dan $C_3$ adalah konstanta sembarang, maka $C = C_1 + C_2 - C_3$ juga merupakan konstanta sembarang.

Jadi, antiturunan dari $f(x) = rac{1}{2}x^5 + rac{2}{3}x^2 - 8$ adalah $F(x) = rac{1}{12}x^6 + rac{2}{9}x^3 - 8x + C$.