Tentukan hasil dari soal limit berikut lim x -> 0 (3x tan

3/4

Pembahasan

Untuk menentukan hasil limit \( \lim_{x \to 0} \frac{3x \tan 2x}{1-\cos 4x} \), kita dapat menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar. 
Metode 1: Menggunakan Aturan L'Hopital.
Karena substitusi langsung x=0 menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, kita dapat menerapkan aturan L'Hopital dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah.
Turunan pembilang: \( \frac{d}{dx}(3x \tan 2x) = 3 \tan 2x + 3x (2 \sec^2 2x) = 3 \tan 2x + 6x \sec^2 2x \).
Turunan penyebut: \( \frac{d}{dx}(1-\cos 4x) = -(-\sin 4x) \cdot 4 = 4 \sin 4x \).
Sekarang kita hitung limit dari hasil turunan:
\( \lim_{x \to 0} \frac{3 \tan 2x + 6x \sec^2 2x}{4 \sin 4x} \).
Ini masih menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, jadi kita terapkan L'Hopital lagi.
Turunan pembilang: \( \frac{d}{dx}(3 \tan 2x + 6x \sec^2 2x) = 3(2 \sec^2 2x) + 6 \sec^2 2x + 6x (2 \sec 2x \cdot \sec 2x \cdot \tan 2x \cdot 2) = 6 \sec^2 2x + 6 \sec^2 2x + 24x \sec^2 2x \tan 2x = 12 \sec^2 2x + 24x \sec^2 2x \tan 2x \).
Turunan penyebut: \( \frac{d}{dx}(4 \sin 4x) = 4(\cos 4x) \cdot 4 = 16 \cos 4x \).
Sekarang hitung limitnya:
\( \lim_{x \to 0} \frac{12 \sec^2 2x + 24x \sec^2 2x \tan 2x}{16 \cos 4x} \).
Substitusikan x = 0:
\( \frac{12 \sec^2(0) + 24(0) \sec^2(0) \tan(0)}{16 \cos(0)} = \frac{12(1)^2 + 0}{16(1)} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} \).

Metode 2: Manipulasi Aljabar.
Kita tahu bahwa \( \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \) dan \( \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta \), serta \( 1-\cos 2\theta = 2 \sin^2 \theta \).
Ubah soal menjadi:
\( \lim_{x \to 0} \frac{3x \frac{\sin 2x}{\cos 2x}}{1-\cos 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x \sin 2x}{\cos 2x (1-\cos 4x)} \).
Gunakan identitas \( 1-\cos 4x = 2 \sin^2 2x \):
\( \lim_{x \to 0} \frac{3x \sin 2x}{\cos 2x (2 \sin^2 2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{2 \cos 2x \sin 2x} \).
Gunakan identitas \( \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta \) atau \( \sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x \):
\( \lim_{x \to 0} \frac{3x}{ \sin 4x} \).
Kita tahu \( \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 \). Maka, kita bisa manipulasi menjadi:
\( \lim_{x \to 0} \frac{3x}{ \sin 4x} \cdot \frac{4}{4} = \lim_{x \to 0} \frac{12x}{4 \sin 4x} = \frac{3}{4} \lim_{x \to 0} \frac{4x}{\sin 4x} \).
Karena \( \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin \theta} = 1 \), maka \( \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4} \).