Tentukan hasil integral tak tentu di bawah ini. a. integral

a. 1/6(2x-3)^3 + C atau 4/3x^3 - 6x^2 + 9x + C, b. 1/2x^2 + 20/3x^(3/2) + 25x + C

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral tak tentu dari $(2x-3)^2 dx$, kita dapat menggunakan metode substitusi atau ekspansi.

Menggunakan ekspansi:
$(2x-3)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(3) + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$

Maka, integralnya adalah:
$\int (4x^2 - 12x + 9) dx = \frac{4x^{2+1}}{2+1} - \frac{12x^{1+1}}{1+1} + 9x + C$
$= \frac{4}{3}x^3 - 6x^2 + 9x + C$

Menggunakan metode substitusi:
Misalkan $u = 2x - 3$, maka $du = 2 dx$, atau $dx = \frac{1}{2} du$.
Maka, integralnya menjadi:
$\\int u^2 \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^2 du$
$= \frac{1}{2} \frac{u^{2+1}}{2+1} + C$
$= \frac{1}{2} \frac{u^3}{3} + C$
$= \frac{1}{6} u^3 + C$
Substitusikan kembali $u = 2x - 3$:
$= \frac{1}{6}(2x - 3)^3 + C$

Untuk menyelesaikan integral tak tentu dari $(\sqrt{x}+5)^2 dx$, kita dapat melakukan ekspansi terlebih dahulu:
$(\sqrt{x}+5)^2 = (x^{1/2})^2 + 2(x^{1/2})(5) + 5^2$
$= x + 10x^{1/2} + 25$

Maka, integralnya adalah:
$\\int (x + 10x^{1/2} + 25) dx$
$= \frac{x^{1+1}}{1+1} + \frac{10x^{1/2+1}}{1/2+1} + 25x + C$
$= \frac{x^2}{2} + \frac{10x^{3/2}}{3/2} + 25x + C$
$= \frac{1}{2}x^2 + \frac{20}{3}x^{3/2} + 25x + C$