Tentukan kedudukan dari dua lingkaran

Kedua lingkaran berpotongan di dua titik berbeda karena jarak antara pusatnya ($d=\sqrt{2}$) berada di antara selisih jari-jarinya ($|r_1-r_2|=1$) dan jumlah jari-jarinya ($r_1+r_2=5$). Untuk menemukan titik potongnya, kita perlu menyelesaikan sistem persamaan kedua lingkaran.

Pembahasan

Untuk menentukan kedudukan dua lingkaran $L1: x^2+y^2-2x-4y+1=0$ dan $L2: x^2+y^2-4x-2y-4=0$, kita perlu mencari pusat dan jari-jari masing-masing lingkaran.

Untuk Lingkaran L1:
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah $x^2+y^2+Ax+By+C=0$.
Dari $L1: x^2+y^2-2x-4y+1=0$, kita punya $A_1=-2$, $B_1=-4$, $C_1=1$.

Pusat $P_1 = (-\frac{A_1}{2}, -\frac{B_1}{2}) = (-\frac{-2}{2}, -\frac{-4}{2}) = (1, 2)$.
Jari-jari $r_1 = \sqrt{(\frac{A_1}{2})^2 + (\frac{B_1}{2})^2 - C_1} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 - 1} = \sqrt{1 + 4 - 1} = \sqrt{4} = 2$.

Untuk Lingkaran L2:
Dari $L2: x^2+y^2-4x-2y-4=0$, kita punya $A_2=-4$, $B_2=-2$, $C_2=-4$.

Pusat $P_2 = (-\frac{A_2}{2}, -\frac{B_2}{2}) = (-\frac{-4}{2}, -\frac{-2}{2}) = (2, 1)$.
Jari-jari $r_2 = \sqrt{(\frac{A_2}{2})^2 + (\frac{B_2}{2})^2 - C_2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 - (-4)} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.

Selanjutnya, kita hitung jarak antara kedua pusat lingkaran, $d = P_1P_2$.
$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} = \sqrt{(2-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Sekarang kita bandingkan jarak antara pusat ($d$) dengan jumlah dan selisih jari-jari ($r_1+r_2$ dan $|r_1-r_2|$).
$r_1+r_2 = 2+3 = 5$
$|r_1-r_2| = |2-3| = |-1| = 1$

Kita memiliki:
$d = \sqrt{2} \approx 1.414$
$r_1+r_2 = 5$
$|r_1-r_2| = 1$

Karena $|r_1-r_2| < d < r_1+r_2$ (yaitu $1 < \sqrt{2} < 5$), kedua lingkaran tersebut berpotongan di dua titik yang berbeda.