Tentukan koefisien x^10 dari perpangkatan (x^3-3x)^6.

Koefisien x^10 adalah 1215.

Pembahasan

Untuk menentukan koefisien x^10 dari perpangkatan \((x^3-3x)^6\), kita dapat menggunakan teorema binomial.

Teorema binomial menyatakan bahwa \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\).
Dalam kasus ini, \(a = x^3\), \(b = -3x\), dan \(n = 6\).

Rumus suku ke-(k+1) adalah \(T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\).
Substitusikan nilai a, b, dan n:
\(T_{k+1} = \binom{6}{k} (x^3)^{6-k} (-3x)^k\)
\(T_{k+1} = \binom{6}{k} x^{3(6-k)} (-3)^k x^k\)
\(T_{k+1} = \binom{6}{k} x^{18-3k} (-3)^k x^k\)
\(T_{k+1} = \binom{6}{k} (-3)^k x^{18-3k+k}\)
\(T_{k+1} = \binom{6}{k} (-3)^k x^{18-2k}\)

Kita ingin mencari koefisien dari x^10, jadi kita samakan pangkat x dengan 10:
\(18-2k = 10\)
\(-2k = 10 - 18\)
\(-2k = -8\)
\(k = 4\)

Sekarang, substitusikan \(k = 4\) ke dalam rumus suku ke-(k+1) untuk mencari koefisiennya:
Koefisien = \(\binom{6}{4} (-3)^4\)
Koefisien = \(\frac{6!}{4!(6-4)!} \times 81\)
Koefisien = \(\frac{6!}{4!2!} \times 81\)
Koefisien = \(\frac{6 \times 5}{2 	imes 1} \times 81\)
Koefisien = \(15 \times 81\)
Koefisien = \(1215\)

Jadi, koefisien x^10 dari perpangkatan \((x^3-3x)^6\) adalah 1215.