Tentukan luas permukaan benda putar dari gambar berikut

Luas permukaan benda putar tidak dapat dihitung tanpa batas integrasi yang jelas. Jika diasumsikan interval y adalah [0, 4], hasilnya adalah -4π√5.

Pembahasan

Soal ini meminta untuk menghitung luas permukaan benda putar yang terbentuk dari kurva 2x = y - 4 yang diputar 360 derajat mengelilingi sumbu Y. Pertama, kita perlu menyatakan x dalam bentuk y: x = (y - 4) / 2.
Rumus luas permukaan benda putar mengelilingi sumbu Y adalah:
L = \int_{a}^{b} 2\pi x \sqrt{1 + (dx/dy)^2} dy

Kita perlu mencari dx/dy:
dx/dy = d/dy [(y - 4) / 2] = 1/2.

Maka, (dx/dy)^2 = (1/2)^2 = 1/4.

Sekarang kita substitusikan x dan (dx/dy)^2 ke dalam rumus luas permukaan:
L = \int_{a}^{b} 2\pi ((y - 4) / 2) \sqrt{1 + 1/4} dy
L = \int_{a}^{b} \pi (y - 4) \sqrt{5/4} dy
L = \int_{a}^{b} \pi (y - 4) (\sqrt{5}/2) dy
L = (\pi \sqrt{5} / 2) \int_{a}^{b} (y - 4) dy

Namun, soal ini tidak memberikan batas integrasi (nilai a dan b), yang berarti kita tidak dapat menghitung nilai luas permukaan secara spesifik tanpa informasi lebih lanjut mengenai interval y yang relevan untuk benda putar tersebut. Jika kita mengasumsikan bahwa kurva tersebut membentuk suatu bentuk yang tertutup atau memiliki batas yang ditentukan dalam konteks soal yang tidak disertakan, maka kita perlu batas tersebut. 

Sebagai contoh, jika kita diminta mencari luas permukaan selimut kerucut yang dibentuk oleh garis y = 2x + 4 (yang merupakan penataan ulang dari 2x = y - 4) diputar mengelilingi sumbu Y dari y=0 sampai y=4 (yang berarti x dari -2 sampai 0), maka:
Batas y dari 0 sampai 4.
x = (y-4)/2.
dx/dy = 1/2.
L = (\pi \sqrt{5} / 2) \int_{0}^{4} (y - 4) dy
L = (\pi \sqrt{5} / 2) [1/2 y^2 - 4y]_0^4
L = (\pi \sqrt{5} / 2) [(1/2 * 16 - 4*4) - (0)]
L = (\pi \sqrt{5} / 2) [8 - 16]
L = (\pi \sqrt{5} / 2) [-8]
L = -4\pi \sqrt{5}
Karena luas tidak bisa negatif, ini menunjukkan ada masalah dengan asumsi atau penafsiran soal. 

Jika soal dimaksudkan adalah mencari luas selimut kerucut yang dibentuk oleh garis y = 2x + 4 diputar mengelilingi sumbu Y, dan kita melihat titik potong sumbu Y (x=0, y=4) dan titik lain, misalnya kita ambil titik dimana y=0, maka 0 = 2x+4 => 2x = -4 => x = -2. Jadi interval x adalah -2 sampai 0. Maka y adalah 0 sampai 4.

Dalam kasus ini, kurva adalah 2x = y - 4 atau y = 2x + 4. Jika diputar mengelilingi sumbu Y, kita perlu menyatakan x dalam y. x = (y-4)/2.
Jika kita asumsikan interval y adalah dari 0 hingga 4 (sesuai contoh di atas), maka hasil perhitungan adalah -4π√5, yang tidak valid karena luas tidak bisa negatif. 

Tanpa batas integrasi yang jelas atau konteks tambahan mengenai bentuk benda putar, luas permukaan tidak dapat dihitung secara pasti. Jika soal tersebut memiliki gambar, gambar tersebut akan memberikan informasi tentang batas integrasi.