Tentukan nilai a agar memenuhi persamaan 2log^2 a+log a=6.

Nilai a adalah 10^(3/2) atau 1/100. Persamaan diselesaikan dengan mengubahnya menjadi persamaan kuadrat 2y^2 + y - 6 = 0 (dengan y = log a), menemukan solusi y, lalu menghitung a = 10^y.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai 'a' yang memenuhi persamaan 2log² a + log a = 6, kita dapat menggunakan substitusi untuk mengubahnya menjadi persamaan kuadrat.

Misalkan y = log a.
Persamaan menjadi: 2y² + y = 6

Selanjutnya, kita ubah persamaan ini menjadi bentuk standar persamaan kuadrat (ay² + by + c = 0):
2y² + y - 6 = 0

Sekarang, kita faktorkan persamaan kuadrat ini atau gunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai 'y'. Mari kita coba faktorkan:
Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan (2 * -6) = -12 dan jika dijumlahkan menghasilkan 1 (koefisien dari y).
Bilangan tersebut adalah 4 dan -3 (karena 4 * -3 = -12 dan 4 + (-3) = 1).

Kita bisa menulis ulang suku tengah (y) menggunakan kedua bilangan ini:
2y² + 4y - 3y - 6 = 0

Kelompokkan suku-suku tersebut:
(2y² + 4y) + (-3y - 6) = 0

Faktorkan keluar faktor persekutuan dari setiap kelompok:
2y(y + 2) - 3(y + 2) = 0

Sekarang, faktorkan (y + 2):
(2y - 3)(y + 2) = 0

Dari sini, kita mendapatkan dua kemungkinan solusi untuk 'y':
1.  2y - 3 = 0  =>  2y = 3  =>  y = 3/2
2.  y + 2 = 0   =>  y = -2

Sekarang, kita substitusikan kembali y = log a untuk menemukan nilai 'a'. Perlu diingat bahwa 'log' tanpa basis yang disebutkan biasanya merujuk pada logaritma basis 10 (log₁₀).

Kasus 1: y = 3/2
log₁₀ a = 3/2
Dengan definisi logaritma, jika log_b(x) = c, maka b^c = x.
Jadi, a = 10^(3/2)
a = 10^(1.5)
a = 10 * √10

Kasus 2: y = -2
log₁₀ a = -2
Jadi, a = 10^(-2)
a = 1 / 10²
a = 1/100

Karena domain logaritma adalah bilangan real positif, kedua nilai 'a' ini valid (a > 0).

Jadi, nilai 'a' yang memenuhi persamaan adalah 10^(3/2) atau 1/100.