Tentukan nilai a dan b jika x^2+2x-3 merupakan faktor dari

Nilai a = -7, b = -8. Faktor lain adalah (x+2) dan (x-2).

Pembahasan

Diketahui bahwa $(x^2+2x-3)$ adalah faktor dari $x^4+2x^3+ax^2+bx+12$.
Pertama, faktorkan ekspresi $(x^2+2x-3)$.
$x^2+2x-3 = (x+3)(x-1)$

Karena $(x+3)$ dan $(x-1)$ adalah faktor dari $x^4+2x^3+ax^2+bx+12$, maka substitusi $x=-3$ dan $x=1$ ke dalam polinomial tersebut akan menghasilkan nilai 0.

Substitusi $x=-3$:
$(-3)^4 + 2(-3)^3 + a(-3)^2 + b(-3) + 12 = 0$
$81 + 2(-27) + a(9) - 3b + 12 = 0$
$81 - 54 + 9a - 3b + 12 = 0$
$39 + 9a - 3b = 0$
$9a - 3b = -39$
$3a - b = -13$ (Persamaan 1)

Substitusi $x=1$:
$(1)^4 + 2(1)^3 + a(1)^2 + b(1) + 12 = 0$
$1 + 2 + a + b + 12 = 0$
$15 + a + b = 0$
$a + b = -15$ (Persamaan 2)

Sekarang kita selesaikan sistem persamaan linear dari Persamaan 1 dan Persamaan 2:
1) $3a - b = -13$
2) $a + b = -15$

Jumlahkan Persamaan 1 dan Persamaan 2:
$(3a - b) + (a + b) = -13 + (-15)$
$4a = -28$
$a = -7$

Substitusikan nilai $a = -7$ ke Persamaan 2:
$-7 + b = -15$
$b = -15 + 7$
$b = -8$

Jadi, nilai $a = -7$ dan $b = -8$.

Polinomialnya menjadi $x^4+2x^3-7x^2-8x+12$.
Karena $(x+3)$ dan $(x-1)$ adalah faktor, kita bisa membagikan polinomial ini dengan $(x+3)(x-1) = x^2+2x-3$ untuk mencari faktor yang lain.

Melakukan pembagian polinomial:
$(x^4+2x^3-7x^2-8x+12) / (x^2+2x-3)$

Dengan pembagian panjang atau sintetik, kita akan mendapatkan hasil $\((x^2-4)\)$.

Jadi, faktor yang lain adalah $\((x^2-4)\)$, yang dapat difaktorkan lebih lanjut menjadi $(x+2)(x-2)$.

Kesimpulan:
Nilai $a = -7$ dan $b = -8$.
Faktor-faktor lain dari polinomial tersebut adalah $(x+2)$ dan $(x-2)$.