Tentukan nilai dari: a. sin 15 b. cos 15 c. tan 15

sin 15° = (√6 - √2)/4, cos 15° = (√6 + √2)/4, tan 15° = 2 - √3

Pembahasan

Untuk menentukan nilai sinus, kosinus, dan tangen dari 15 derajat, kita dapat menggunakan identitas penjumlahan atau pengurangan sudut.

1.  **Sin 15°**
    Kita bisa menggunakan \(\sin(45° - 30°)\) :
    \(\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B\)
    \(\sin(45° - 30°) = \sin 45° \cos 30° - \cos 45° \sin 30°\)
    \(= (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{1}{2})\)
    \(= \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}\)
    \(= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\)

2.  **Cos 15°**
    Kita bisa menggunakan \(\cos(45° - 30°)\) :
    \(\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B\)
    \(\cos(45° - 30°) = \cos 45° \cos 30° + \sin 45° \sin 30°\)
    \(= (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{1}{2})\)
    \(= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}\)
    \(= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)

3.  **Tan 15°**
    Kita bisa menggunakan \(\tan(45° - 30°)\) atau \(\frac{\sin 15°}{\cos 15°}\) :
    Menggunakan identitas tangen:
    \(\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}\)
    \(\tan(45° - 30°) = \frac{\tan 45° - \tan 30°}{1 + \tan 45° \tan 30°}\)
    \(= \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + (1)(\frac{\sqrt{3}}{3})}\)
    \(= \frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}\)
    \(= \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}\)
    Untuk merasionalkan penyebut, kalikan dengan \(\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}\)
    \(= \frac{(3 - \sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2}\)
    \(= \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3}\)
    \(= \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6}\)
    \(= 2 - \sqrt{3}\)

Atau menggunakan hasil sin dan cos:
    \(\tan 15° = \frac{\sin 15°}{\cos 15°} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}\)
    Kalikan dengan \(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}\)
    \(= \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2}{(\sqrt{6})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{6 - 2} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3}\)