Tentukan nilai limit dari fungsi berikut: lim _(x -> tak

-1/7

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit dari fungsi $\lim_{x \to \infty} \frac{6^{x+3}-7^{x}}{5^{x}+7^{x+1}}$, kita perlu menganalisis perilaku fungsi saat x mendekati tak hingga. 

Pertama, kita bisa menyederhanakan ekspresi di pembilang dan penyebut:
Pembilang: $6^{x+3}-7^{x} = 6^x \cdot 6^3 - 7^x = 216 \cdot 6^x - 7^x$
Penyebut: $5^{x}+7^{x+1} = 5^x + 7^x \cdot 7^1 = 5^x + 7 \cdot 7^x$

Sehingga fungsinya menjadi:
$\frac{216 \cdot 6^x - 7^x}{5^x + 7 \cdot 7^x}$

Untuk mencari limit saat $x \to \infty$, kita bagi setiap suku dengan suku dengan pertumbuhan paling cepat di penyebut, yaitu $7^x$:
$\frac{\frac{216 \cdot 6^x}{7^x} - \frac{7^x}{7^x}}{\frac{5^x}{7^x} + \frac{7 \cdot 7^x}{7^x}}$

Ini dapat disederhanakan menjadi:
$\frac{216 \cdot (\frac{6}{7})^x - 1}{(\frac{5}{7})^x + 7}$

Sekarang, kita evaluasi limit saat $x \to \infty$: 
Karena $0 < \frac{6}{7} < 1$ dan $0 < \frac{5}{7} < 1$, maka saat $x \to \infty$, suku-suku $(\frac{6}{7})^x$ dan $(\frac{5}{7})^x$ akan mendekati 0.

Jadi, limitnya adalah:
$\frac{216 \cdot 0 - 1}{0 + 7} = \frac{-1}{7}$

Oleh karena itu, nilai limit dari fungsi tersebut adalah -1/7.