Tentukan nilai limit fungsi berikut! lim x -> 1

Nilai limitnya adalah 1 - 1/2 akar(2).

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit fungsi lim x -> 1 (akar(x+1)-2)/(x-3) dengan memisalkan x = t^2 - 1, kita substitusikan pemisalan tersebut ke dalam fungsi.
Ketika x -> 1, maka t^2 - 1 -> 1, sehingga t^2 -> 2, dan t -> akar(2).
Substitusi x = t^2 - 1 ke dalam fungsi:
lim t -> akar(2) (akar((t^2 - 1) + 1) - 2) / ((t^2 - 1) - 3)
= lim t -> akar(2) (akar(t^2) - 2) / (t^2 - 4)
= lim t -> akar(2) (|t| - 2) / (t^2 - 4)
Karena t -> akar(2), maka t positif, sehingga |t| = t.
= lim t -> akar(2) (t - 2) / (t^2 - 4)
Kita faktorkan penyebutnya:
= lim t -> akar(2) (t - 2) / ((t - 2)(t + 2))
Kita bisa membatalkan (t - 2):
= lim t -> akar(2) 1 / (t + 2)
Sekarang kita substitusikan t = akar(2):
= 1 / (akar(2) + 2)
Untuk merasionalkan penyebut, kita kalikan dengan sekawannya:
= 1 / (akar(2) + 2) * (akar(2) - 2) / (akar(2) - 2)
= (akar(2) - 2) / (2 - 4)
= (akar(2) - 2) / (-2)
= (2 - akar(2)) / 2
= 1 - 1/2 akar(2)