Tentukan nilai limit fungsi berikut. limit x -> 0 (1-cotan

Nilai limitnya adalah -1.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit fungsi $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cot(x)}{1/x}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah $\frac{\infty - \infty}{\infty}$ atau $\frac{-\infty}{\infty}$ jika kita ubah $\cot(x)$ menjadi $\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$.

Langkah 1: Ubah bentuk fungsi menjadi lebih mudah diturunkan.
$\frac{1 - \cot(x)}{1/x} = \frac{1 - \frac{\cos(x)}{\sin(x)}}{\frac{1}{x}} = \frac{\frac{\sin(x) - \cos(x)}{\sin(x)}}{\frac{1}{x}} = \frac{x(\sin(x) - \cos(x))}{\sin(x)}$

Langkah 2: Terapkan aturan L'Hopital karena ketika $x \to 0$, pembilang dan penyebut sama-sama menuju 0.
Turunan pembilang: $d/dx [x(\sin(x) - \cos(x))] = 1(\sin(x) - \cos(x)) + x(\cos(x) + \sin(x)) = \sin(x) - \cos(x) + x\cos(x) + x\sin(x)$
Turunan penyebut: $d/dx [\sin(x)] = \cos(x)$

Langkah 3: Hitung limit dari hasil turunan.
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - \cos(x) + x\cos(x) + x\sin(x)}{\cos(x)}$
Substitusikan $x = 0$:
$\frac{\sin(0) - \cos(0) + 0\cos(0) + 0\sin(0)}{\cos(0)} = \frac{0 - 1 + 0 + 0}{1} = -1$

Jadi, nilai limit fungsi tersebut adalah -1.