Tentukan nilai limit x mendekati tak hingga ((2x + 1) -

5/2

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit x mendekati tak hingga dari ((2x + 1) - akar(4x² - 6x + 1)), kita dapat menggunakan metode mengalikan dengan bentuk sekawan.

Limit = lim (x→∞) [(2x + 1) - akar(4x² - 6x + 1)]

Kalikan dengan bentuk sekawan dari ekspresi tersebut, yaitu [(2x + 1) + akar(4x² - 6x + 1)] / [(2x + 1) + akar(4x² - 6x + 1)]:

Limit = lim (x→∞) [((2x + 1) - akar(4x² - 6x + 1)) * ((2x + 1) + akar(4x² - 6x + 1)) / ((2x + 1) + akar(4x² - 6x + 1))]

Gunakan rumus (a - b)(a + b) = a² - b² di bagian pembilang:

Limit = lim (x→∞) [(2x + 1)² - (4x² - 6x + 1)] / [(2x + 1) + akar(4x² - 6x + 1)]

Jabarkan (2x + 1)²:
(2x + 1)² = (2x)² + 2(2x)(1) + 1² = 4x² + 4x + 1

Substitusikan kembali ke pembilang:

Limit = lim (x→∞) [(4x² + 4x + 1) - (4x² - 6x + 1)] / [(2x + 1) + akar(4x² - 6x + 1)]

Sederhanakan pembilang:

Limit = lim (x→∞) [4x² + 4x + 1 - 4x² + 6x - 1] / [(2x + 1) + akar(4x² - 6x + 1)]
Limit = lim (x→∞) [10x] / [(2x + 1) + akar(4x² - 6x + 1)]

Untuk limit x mendekati tak hingga, kita dapat membagi setiap suku dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut, yaitu x.
Dalam akar, x² menjadi x ketika dikeluarkan dari akar:
akar(4x² - 6x + 1) = akar(x²(4 - 6/x + 1/x²)) = |x| * akar(4 - 6/x + 1/x²).
Karena x mendekati tak hingga (positif), maka |x| = x.
akar(4x² - 6x + 1) = x * akar(4 - 6/x + 1/x²).

Sekarang bagi pembilang dan penyebut dengan x:

Limit = lim (x→∞) [10x / x] / [(2x / x + 1 / x) + (x * akar(4 - 6/x + 1/x²) / x)]
Limit = lim (x→∞) [10] / [(2 + 1/x) + akar(4 - 6/x + 1/x²)]

Ketika x mendekati tak hingga, suku-suku dengan 1/x dan 1/x² akan mendekati 0:

Limit = 10 / (2 + 0 + akar(4 - 0 + 0))
Limit = 10 / (2 + akar(4))
Limit = 10 / (2 + 2)
Limit = 10 / 4
Limit = 5/2

Jadi, nilai limitnya adalah 5/2.