Tentukan nilai maksimum dari (4 x+5 y) untuk sistem

31

Pembahasan

Untuk menentukan nilai maksimum dari fungsi tujuan (4x + 5y) pada sistem pertidaksamaan linear:
x >= 0
y >= 0
x + 2y <= 10
x + y <= 7

Kita perlu mencari titik-titik sudut (vertex) dari daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan tersebut (daerah feasible).

1. Titik potong sumbu x (y=0):
Dari x + 2y = 10 => x = 10
Dari x + y = 7 => x = 7
Titik potongnya adalah (7, 0) dan (10, 0). Karena x+y <= 7, maka titik yang memenuhi adalah (7,0).

2. Titik potong sumbu y (x=0):
Dari x + 2y = 10 => 2y = 10 => y = 5
Dari x + y = 7 => y = 7
Titik potongnya adalah (0, 5) dan (0, 7). Karena x+2y <= 10, maka titik yang memenuhi adalah (0,5).

3. Titik potong antara x + 2y = 10 dan x + y = 7:
Kita bisa menggunakan metode eliminasi atau substitusi. Dengan eliminasi:
(x + 2y) - (x + y) = 10 - 7
y = 3
Substitusikan y = 3 ke salah satu persamaan, misalnya x + y = 7:
x + 3 = 7
x = 4
Jadi, titik potongnya adalah (4, 3).

Titik-titik sudut daerah feasible adalah (0, 0), (7, 0), (0, 5), dan (4, 3).

Sekarang, kita substitusikan titik-titik sudut ini ke dalam fungsi tujuan (4x + 5y):
- Di (0, 0): 4(0) + 5(0) = 0
- Di (7, 0): 4(7) + 5(0) = 28
- Di (0, 5): 4(0) + 5(5) = 25
- Di (4, 3): 4(4) + 5(3) = 16 + 15 = 31

Nilai maksimum dari fungsi tujuan (4x + 5y) adalah 31.