Tentukan nilai yang tepat untuk variabel-variabel berikut

Nilai m yang mungkin adalah 3 atau -4. Jika m=3, barisannya adalah 2, 4, 8. Jika m=-4, barisannya adalah 9, -3, 1.

Pembahasan

Agar barisan kalimat terbuka 5-m, m+1, m+5 membentuk barisan geometri, maka perbandingan antara suku kedua dan suku pertama harus sama dengan perbandingan antara suku ketiga dan suku kedua. Rasio (r) harus konstan.

Ini berarti:
(m+1) / (5-m) = (m+5) / (m+1)

Sekarang, kita selesaikan persamaan ini untuk mencari nilai m:
(m+1) * (m+1) = (5-m) * (m+5)
(m+1)^2 = 5m + 25 - m^2 - 5m
m^2 + 2m + 1 = 25 - m^2

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
m^2 + m^2 + 2m + 1 - 25 = 0
2m^2 + 2m - 24 = 0

Bagi seluruh persamaan dengan 2 agar lebih sederhana:
m^2 + m - 12 = 0

Sekarang faktorkan persamaan kuadrat tersebut:
(m + 4)(m - 3) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan nilai untuk m:
m + 4 = 0  => m = -4
m - 3 = 0  => m = 3

Kita perlu memeriksa kedua nilai m ini untuk memastikan bahwa pembagi (penyebut) tidak nol.

Jika m = 3:
Suku pertama: 5 - 3 = 2
Suku kedua: 3 + 1 = 4
Suku ketiga: 3 + 5 = 8
Barisan: 2, 4, 8. Rasio = 4/2 = 2, dan 8/4 = 2. Ini adalah barisan geometri.

Jika m = -4:
Suku pertama: 5 - (-4) = 5 + 4 = 9
Suku kedua: -4 + 1 = -3
Suku ketiga: -4 + 5 = 1
Barisan: 9, -3, 1. Rasio = -3/9 = -1/3, dan 1/(-3) = -1/3. Ini juga adalah barisan geometri.

Karena soal meminta "nilai yang tepat", dan biasanya dalam konteks ini nilai positif lebih sering diharapkan atau ada konteks tambahan yang tidak disebutkan, kita bisa menyajikan kedua solusi atau memilih salah satu jika ada asumsi tambahan. Namun, jika diminta satu nilai, m=3 seringkali lebih disukai dalam soal tingkat menengah jika tidak ada batasan lebih lanjut.