Tentukan penyelesaian pertidaksamaan berikut. (x-1)log (3

Penyelesaian pertidaksamaan adalah 1/2 < x <= 1.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan (x-1)log (3x+1) <= (x-1)log (2x-1), kita perlu mempertimbangkan dua kasus utama berdasarkan nilai (x-1).

Kasus 1: x - 1 > 0, atau x > 1
Dalam kasus ini, kita dapat membagi kedua sisi dengan (x-1) tanpa mengubah arah pertidaksamaan:
log (3x+1) <= log (2x-1)
Karena basis logaritma (yang tidak disebutkan, diasumsikan basis > 1, misalnya basis 10 atau e) lebih besar dari 1, maka:
3x + 1 <= 2x - 1
x <= -2
Namun, kasus ini mensyaratkan x > 1. Karena tidak ada nilai x yang memenuhi x > 1 dan x <= -2 secara bersamaan, maka tidak ada solusi dari kasus ini.

Kasus 2: x - 1 < 0, atau x < 1
Dalam kasus ini, ketika kita membagi kedua sisi dengan (x-1), kita harus membalik arah pertidaksamaan:
log (3x+1) >= log (2x-1)
Karena basis logaritma lebih besar dari 1:
3x + 1 >= 2x - 1
x >= -2

Selain itu, kita juga harus memperhatikan domain dari fungsi logaritma. Argumen logaritma harus positif:
3x + 1 > 0  => x > -1/3
2x - 1 > 0  => x > 1/2

Jadi, kita perlu memenuhi kondisi x < 1, x >= -2, x > -1/3, dan x > 1/2.

Menggabungkan semua kondisi ini:
x < 1
x >= -2
x > -1/3
x > 1/2

Irisan dari semua kondisi ini adalah 1/2 < x < 1.

Kasus 3: x - 1 = 0, atau x = 1
Jika x = 1, maka kedua sisi pertidaksamaan menjadi 0 * log(4) <= 0 * log(1). Kedua sisi bernilai 0, sehingga 0 <= 0, yang benar. Namun, kita harus memeriksa domain logaritma pada x=1: log(3*1+1) = log(4) dan log(2*1-1) = log(1). Keduanya terdefinisi. Jadi, x = 1 adalah solusi.

Menggabungkan semua solusi:
Dari Kasus 2: 1/2 < x < 1
Dari Kasus 3: x = 1

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan adalah 1/2 < x <= 1.