Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran

Persamaan garis singgungnya adalah $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 2$ dan $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + 2$.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2-8x-4y+16=0$ yang ditarik dari titik (0,2), pertama kita perlu menemukan pusat dan jari-jari lingkaran tersebut. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, di mana (a,b) adalah pusat dan r adalah jari-jari. Kita bisa mengubah persamaan yang diberikan ke bentuk ini dengan melengkapkan kuadrat.

$x^2 - 8x + y^2 - 4y + 16 = 0$
$(x^2 - 8x) + (y^2 - 4y) + 16 = 0$
Untuk melengkapkan kuadrat pada x, tambahkan $(\frac{-8}{2})^2 = (-4)^2 = 16$. 
Untuk melengkapkan kuadrat pada y, tambahkan $(\frac{-4}{2})^2 = (-2)^2 = 4$.

$(x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 4y + 4) + 16 - 16 - 4 = 0$
$(x - 4)^2 + (y - 2)^2 - 4 = 0$
$(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 4$

Dari bentuk ini, kita dapat melihat bahwa:
Pusat lingkaran (a,b) adalah (4, 2).
Jari-jari lingkaran, $r^2 = 4$, sehingga $r = 2$.

Titik yang diberikan adalah P(0, 2).
Mari kita periksa apakah titik ini berada di dalam, di luar, atau pada lingkaran.
Substitusikan (0, 2) ke dalam persamaan lingkaran:
$(0 - 4)^2 + (2 - 2)^2 = (-4)^2 + (0)^2 = 16 + 0 = 16$.
Karena 16 > 4 (kuadrat jari-jari), titik (0, 2) berada di luar lingkaran.

Sekarang kita perlu mencari persamaan garis singgung dari titik (0, 2) ke lingkaran $(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 4$.
Misalkan persamaan garis singgung adalah $y - y_1 = m(x - x_1)$, di mana $(x_1, y_1) = (0, 2)$.
Jadi, $y - 2 = m(x - 0)$ => $y = mx + 2$.

Jarak dari pusat lingkaran (4, 2) ke garis singgung $mx - y + 2 = 0$ harus sama dengan jari-jari (r = 2).
Rumus jarak dari titik $(x_0, y_0)$ ke garis $Ax + By + C = 0$ adalah $\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.

Di sini, $(x_0, y_0) = (4, 2)$, A = m, B = -1, C = 2.
$\frac{|m(4) - 1(2) + 2|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2$
$\frac{|4m - 2 + 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$
$\frac{|4m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$
$|4m| = 2\sqrt{m^2 + 1}$
Kuadratkan kedua sisi:
$(4m)^2 = (2\sqrt{m^2 + 1})^2$
$16m^2 = 4(m^2 + 1)$
$16m^2 = 4m^2 + 4$
$16m^2 - 4m^2 = 4$
$12m^2 = 4$
$m^2 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$
$m = \pm\sqrt{\frac{1}{3}} = \pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$

Jadi, ada dua gradien, $m_1 = \frac{\sqrt{3}}{3}$ dan $m_2 = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Persamaan garis singgungnya adalah:
Untuk $m = \frac{\sqrt{3}}{3}$: $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x + 2$
Untuk $m = -\frac{\sqrt{3}}{3}$: $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + 2$

Kita juga perlu mempertimbangkan kasus jika garis singgungnya vertikal. Garis vertikal melalui (0,2) adalah x=0. Jarak dari pusat (4,2) ke garis x=0 adalah |4| = 4, yang tidak sama dengan jari-jari 2. Jadi, tidak ada garis singgung vertikal.