Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x^2 + y^2

Dua garis singgung: x = 3 dan 7x + 24y + 75 = 0.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x^2 + y^2 = 9 melalui titik (3, -4), kita perlu melakukan beberapa langkah:

1. **Cari gradien garis yang menghubungkan pusat lingkaran (0,0) dengan titik singgung (x1, y1).**
   Persamaan lingkaran x^2 + y^2 = r^2, dengan pusat (0,0) dan jari-jari r. Dalam kasus ini, r^2 = 9, jadi r = 3.
   Gradien garis normal (radius) adalah m_normal = y1 / x1.

2. **Gradien garis singgung tegak lurus dengan garis normal.**
   Maka, gradien garis singgung (m_singgung) adalah kebalikan negatif dari gradien garis normal: m_singgung = -x1 / y1.

3. **Gunakan rumus persamaan garis singgung:** y - y1 = m_singgung (x - x1).

Namun, soal ini sedikit berbeda karena titik yang diberikan (3, -4) tidak berada pada lingkaran (karena 3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25, bukan 9). Asumsikan soal seharusnya menggunakan lingkaran x^2 + y^2 = 25, atau titik yang diberikan adalah titik singgung pada lingkaran x^2 + y^2 = 9.

**Asumsi 1: Lingkaran adalah x^2 + y^2 = 25 dan titiknya adalah (3, -4).**
   Dalam kasus ini, titik (3, -4) berada pada lingkaran karena 3^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25.
   x1 = 3, y1 = -4.
   m_normal = -4 / 3.
   m_singgung = -(-4) / 3 = 4 / 3.
   Persamaan garis singgung: y - (-4) = (4/3)(x - 3)
   y + 4 = (4/3)x - 4
   3y + 12 = 4x - 12
   4x - 3y - 24 = 0.
   Ini adalah satu garis singgung.

**Asumsi 2: Lingkaran adalah x^2 + y^2 = 9 dan titik (3, -4) adalah titik di luar lingkaran.**
   Ini akan menghasilkan dua garis singgung. Untuk menemukan titik singgungnya, kita bisa menggunakan metode polar atau substitusi.
   Misalkan titik singgungnya adalah (x1, y1). Maka persamaan garis polar adalah x*x1 + y*y1 = 9. Titik (3, -4) terletak pada garis polar ini, sehingga 3*x1 - 4*y1 = 9.
   Titik (x1, y1) juga terletak pada lingkaran: x1^2 + y1^2 = 9.
   Dari 3*x1 - 4*y1 = 9, kita dapatkan y1 = (3*x1 - 9) / 4.
   Substitusikan ke persamaan lingkaran:
   x1^2 + ((3*x1 - 9) / 4)^2 = 9
   x1^2 + (9*x1^2 - 54*x1 + 81) / 16 = 9
   16*x1^2 + 9*x1^2 - 54*x1 + 81 = 144
   25*x1^2 - 54*x1 - 63 = 0
   Gunakan rumus kuadrat untuk mencari x1:
   x1 = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
   x1 = [54 ± sqrt((-54)^2 - 4*25*(-63))] / (2*25)
   x1 = [54 ± sqrt(2916 + 6300)] / 50
   x1 = [54 ± sqrt(9216)] / 50
   x1 = [54 ± 96] / 50

   Kasus 1: x1 = (54 + 96) / 50 = 150 / 50 = 3
      Jika x1 = 3, maka y1 = (3*3 - 9) / 4 = (9 - 9) / 4 = 0.
      Titik singgung: (3, 0).
      Persamaan garis singgung: x*3 + y*0 = 9 => 3x = 9 => x = 3.

   Kasus 2: x1 = (54 - 96) / 50 = -42 / 50 = -21 / 25
      Jika x1 = -21/25, maka y1 = (3*(-21/25) - 9) / 4 = (-63/25 - 225/25) / 4 = (-288/25) / 4 = -72 / 25.
      Titik singgung: (-21/25, -72/25).
      Persamaan garis singgung: x*(-21/25) + y*(-72/25) = 9
      -21x - 72y = 225
      21x + 72y + 225 = 0
      Bagi 3: 7x + 24y + 75 = 0.

Karena soal menyatakan "melalui titik (3, -4)" dan tidak menyebutkan titik singgungnya, serta lingkaran x^2 + y^2 = 9 tidak memuat titik (3, -4), maka kemungkinan besar ada kekeliruan dalam soal. Jika kita mengasumsikan lingkaran yang benar adalah x^2 + y^2 = 25, maka jawabannya adalah 4x - 3y - 24 = 0. Jika kita tetap pada lingkaran x^2 + y^2 = 9 dan titik (3, -4) berada di luar, maka ada dua garis singgung: x = 3 dan 7x + 24y + 75 = 0. 

Karena harus memilih satu interpretasi, kita akan gunakan interpretasi kedua dengan lingkaran x^2+y^2=9 dan titik (3,-4) di luar lingkaran.