Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter PQ, dengan

Persamaan lingkarannya adalah x^2 + y^2 = 80.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan lingkaran yang berdiameter PQ, dengan P(8,-4) dan Q(-8,4), kita perlu mencari:
1. Titik pusat lingkaran (merupakan titik tengah PQ).
2. Jari-jari lingkaran (setengah dari panjang PQ).

**1. Mencari Titik Pusat Lingkaran:**
Titik pusat $(h, k)$ adalah titik tengah dari segmen garis PQ.
Rumus titik tengah: $(\\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$
Dengan P$(x_1, y_1) = (8, -4)$ dan Q$(x_2, y_2) = (-8, 4)$.
$h = \frac{8 + (-8)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$k = \frac{-4 + 4}{2} = \frac{0}{2} = 0$

Jadi, titik pusat lingkaran adalah (0, 0).

**2. Mencari Jari-jari Lingkaran:**
Jari-jari ($r$) adalah setengah dari jarak PQ.
Pertama, hitung jarak PQ menggunakan rumus jarak: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
$PQ = \sqrt{(-8-8)^2 + (4-(-4))^2}$
$PQ = \sqrt{(-16)^2 + (4+4)^2}$
$PQ = \sqrt{(-16)^2 + (8)^2}$
$PQ = \sqrt{256 + 64}$
$PQ = \sqrt{320}$

Sekarang, cari jari-jari $r = \frac{PQ}{2}$
$r = \frac{\sqrt{320}}{2}$
Untuk menyederhanakan $\\sqrt{320}$: $320 = 64 \times 5$, jadi $\\sqrt{320} = \sqrt{64 \times 5} = 8 \sqrt{5}$.
$r = \frac{8 \sqrt{5}}{2} = 4 \sqrt{5}$.

Atau, kita bisa menghitung jari-jari sebagai jarak dari pusat (0,0) ke salah satu titik ujung, misalnya P(8,-4).
$r = \sqrt{(8-0)^2 + (-4-0)^2}$
$r = \sqrt{8^2 + (-4)^2}$
$r = \sqrt{64 + 16}$
$r = \sqrt{80}$

Mari kita periksa kembali perhitungan jarak PQ. Sepertinya saya membuat kesalahan perhitungan.
$PQ = \sqrt{(-16)^2 + (8)^2} = \sqrt{256 + 64} = \sqrt{320}$. Ini benar.

Sekarang, mari kita cek perhitungan jari-jari dari pusat ke P(8,-4).
$r = \sqrt{(8-0)^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80}$.

Ini berarti jarak PQ seharusnya adalah $2 \times \sqrt{80}$. Mari kita cek apakah $\\sqrt{320} = 2 \times \sqrt{80}$.
$2 \times \sqrt{80} = \sqrt{4} \times \sqrt{80} = \sqrt{4 \times 80} = \sqrt{320}$. Ya, ini konsisten.

Jadi, jari-jari $r = \sqrt{80}$.

**3. Menyusun Persamaan Lingkaran:**
Persamaan umum lingkaran dengan pusat $(h, k)$ dan jari-jari $r$ adalah $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$.

Karena pusatnya adalah (0, 0) dan $r^2 = 80$, maka persamaannya adalah:
$(x-0)^2 + (y-0)^2 = 80$
$x^2 + y^2 = 80$

Jadi, persamaan lingkaran yang berdiameter PQ, dengan P(8,-4) dan Q(-8,4) adalah $x^2 + y^2 = 80$.