Tentukan semua pasangan (x, Y) bilangan real yang memenuhi

Pasangan solusinya adalah $(\frac{5}{8}, -\frac{1}{12})$, $(\frac{7}{8}, -\frac{1}{4})$, $(-\frac{1}{8}, -\frac{7}{12})$, dan $(\frac{1}{8}, -\frac{3}{4})$.

Pembahasan

Kita diberikan sistem persamaan:
1. $4^{2x - 3y - 1} + 4^{3 - 2x + 3y} = 10$
2. $(2x + 3y)^2 + (2x + 3y) = 2$

Mari kita selesaikan persamaan kedua terlebih dahulu. Misalkan $z = 2x + 3y$. Maka persamaan kedua menjadi:
$z^2 + z = 2$
$z^2 + z - 2 = 0$
Faktorkan persamaan kuadrat ini:
$(z+2)(z-1) = 0$
Ini memberikan dua kemungkinan nilai untuk $z$: $z = 1$ atau $z = -2$.
Jadi, kita punya dua kasus untuk $2x + 3y$: $2x + 3y = 1$ atau $2x + 3y = -2$.

Sekarang, mari kita lihat persamaan pertama. Perhatikan bahwa eksponen pada suku kedua adalah negatif dari eksponen pada suku pertama: $3 - 2x + 3y = -(2x - 3y - 3)$.
Jika kita misalkan $A = 2x - 3y - 1$, maka $3 - 2x + 3y = -(2x - 3y - 3) = -( (2x - 3y - 1) + 1 - 3) = -(A - 2) = -A + 2$. 
Jadi persamaan pertama menjadi: $4^A + 4^{-A+2} = 10$. 
Ini tidak terlihat membantu. Mari kita coba substitusi lain.

Misalkan $k = 2x - 3y$. Maka persamaan pertama adalah $4^{k-1} + 4^{3-k} = 10$.
Tulis ulang sebagai:
$rac{4^k}{4} + rac{4^3}{4^k} = 10$
$rac{4^k}{4} + rac{64}{4^k} = 10$
Kalikan kedua sisi dengan $4 	imes 4^k$ untuk menghilangkan penyebut:
$(4^k)^2 + 4 	imes 64 = 10 	imes 4 	imes 4^k$
$(4^k)^2 + 256 = 40 	imes 4^k$
Misalkan $y = 4^k$. Maka persamaan menjadi:
$y^2 + 256 = 40y$
$y^2 - 40y + 256 = 0$
Faktorkan persamaan kuadrat ini:
$(y - 8)(y - 32) = 0$
Ini memberikan dua kemungkinan nilai untuk $y$: $y = 8$ atau $y = 32$.
Karena $y = 4^k$, kita punya:
Kasus 1: $4^k = 8$
$(2^2)^k = 2^3$
$2^{2k} = 2^3$
$2k = 3$
$k = rac{3}{2}$

Kasus 2: $4^k = 32$
$(2^2)^k = 2^5$
$2^{2k} = 2^5$
$2k = 5$
$k = rac{5}{2}$

Jadi, kita punya dua kemungkinan nilai untuk $k = 2x - 3y$: $2x - 3y = rac{3}{2}$ atau $2x - 3y = rac{5}{2}$.

Sekarang kita gabungkan hasil dari kedua persamaan:

Kasus A: $2x + 3y = 1$ DAN $2x - 3y = rac{3}{2}$
Tambahkan kedua persamaan:
$(2x + 3y) + (2x - 3y) = 1 + rac{3}{2}$
$4x = rac{5}{2}$
$x = rac{5}{8}$
Substitusikan nilai $x$ ke $2x + 3y = 1$:
$2	ext{ (}rac{5}{8}	ext{)} + 3y = 1$
$rac{5}{4} + 3y = 1$
$3y = 1 - rac{5}{4}$
$3y = -rac{1}{4}$
$y = -rac{1}{12}$
Jadi, solusi pertama adalah $(x, y) = (rac{5}{8}, -rac{1}{12})$.

Kasus B: $2x + 3y = 1$ DAN $2x - 3y = rac{5}{2}$
Tambahkan kedua persamaan:
$(2x + 3y) + (2x - 3y) = 1 + rac{5}{2}$
$4x = rac{7}{2}$
$x = rac{7}{8}$
Substitusikan nilai $x$ ke $2x + 3y = 1$:
$2	ext{ (}rac{7}{8}	ext{)} + 3y = 1$
$rac{7}{4} + 3y = 1$
$3y = 1 - rac{7}{4}$
$3y = -rac{3}{4}$
$y = -rac{1}{4}$
Jadi, solusi kedua adalah $(x, y) = (rac{7}{8}, -rac{1}{4})$.

Kasus C: $2x + 3y = -2$ DAN $2x - 3y = rac{3}{2}$
Tambahkan kedua persamaan:
$(2x + 3y) + (2x - 3y) = -2 + rac{3}{2}$
$4x = -rac{1}{2}$
$x = -rac{1}{8}$
Substitusikan nilai $x$ ke $2x + 3y = -2$:
$2	ext{ (}-rac{1}{8}	ext{)} + 3y = -2$
$-rac{1}{4} + 3y = -2$
$3y = -2 + rac{1}{4}$
$3y = -rac{7}{4}$
$y = -rac{7}{12}$
Jadi, solusi ketiga adalah $(x, y) = (-rac{1}{8}, -rac{7}{12})$.

Kasus D: $2x + 3y = -2$ DAN $2x - 3y = rac{5}{2}$
Tambahkan kedua persamaan:
$(2x + 3y) + (2x - 3y) = -2 + rac{5}{2}$
$4x = rac{1}{2}$
$x = rac{1}{8}$
Substitusikan nilai $x$ ke $2x + 3y = -2$:
$2	ext{ (}rac{1}{8}	ext{)} + 3y = -2$
$rac{1}{4} + 3y = -2$
$3y = -2 - rac{1}{4}$
$3y = -rac{9}{4}$
$y = -rac{3}{4}$
Jadi, solusi keempat adalah $(x, y) = (rac{1}{8}, -rac{3}{4})$.

Jadi, terdapat empat pasangan solusi bilangan real untuk sistem persamaan tersebut.