Tentukan turunan dari fungsi f(x) berikut.

Turunan dari $f(x)$ adalah $\frac{2x \sin(6-2x^2) - \cos^2(3-x^2)}{x^2}$.

Pembahasan

Untuk menentukan turunan dari fungsi $f(x) = \frac{\cos^2(3-x^2)}{x}$, kita akan menggunakan aturan hasil bagi (quotient rule) dan aturan rantai (chain rule).

Aturan Hasil Bagi:
Jika $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$, maka $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$.

Dalam kasus ini:
$u(x) = \cos^2(3-x^2)$
$v(x) = x$

Kita perlu mencari turunan dari $u(x)$ menggunakan aturan rantai.
Misalkan $w = \cos(3-x^2)$. Maka $u(x) = w^2$.
Turunan $u$ terhadap $w$ adalah $\frac{du}{dw} = 2w$.

Sekarang kita cari turunan dari $w$ terhadap $x$. Misalkan $z = 3-x^2$. Maka $w = \cos(z)$.
Turunan $w$ terhadap $z$ adalah $\frac{dw}{dz} = -\sin(z)$.
Turunan $z$ terhadap $x$ adalah $\frac{dz}{dx} = -2x$.

Menggunakan aturan rantai, $\frac{dw}{dx} = \frac{dw}{dz} \times \frac{dz}{dx} = -\sin(z) \times (-2x) = 2x \sin(3-x^2)$.

Sekarang, kita kembali ke turunan $u(x) = w^2$.
$\frac{du}{dx} = \frac{du}{dw} \times \frac{dw}{dx} = 2w \times (2x \sin(3-x^2)) = 2\cos(3-x^2) \times 2x \sin(3-x^2) = 4x \sin(3-x^2)\cos(3-x^2)$.

Menggunakan identitas trigonometri $2 \sin A \cos A = \sin(2A)$, kita dapat menyederhanakan $u'(x)$ menjadi:
$u'(x) = 2 \times (2x \sin(3-x^2)\cos(3-x^2)) = 2 \sin(2(3-x^2)) = 2 \sin(6-2x^2)$.

Sekarang kita cari turunan dari $v(x) = x$.
$v'(x) = 1$.

Kembali ke aturan hasil bagi:
$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$
$f'(x) = \frac{(2 \sin(6-2x^2)) \times x - \cos^2(3-x^2) \times 1}{x^2}$
$f'(x) = \frac{2x \sin(6-2x^2) - \cos^2(3-x^2)}{x^2}$

Jadi, turunan dari fungsi $f(x)=(\cos^2(3-x^2))/x$ adalah $\frac{2x \sin(6-2x^2) - \cos^2(3-x^2)}{x^2}$.